Euler – Lagrange ligning - Euler–Lagrange equation

I beregningen af ​​variationer og klassisk mekanik er Euler-Lagrange-ligningerne et system med andenordens almindelige differentialligninger, hvis løsninger er stationære punkter i den givne handlingsfunktion . Ligningerne blev opdaget i 1750'erne af den schweiziske matematiker Leonhard Euler og den italienske matematiker Joseph-Louis Lagrange .

Fordi en differentierbar funktion er stationær ved sit lokale ekstrema , er Euler -Lagrange -ligningen nyttig til at løse optimeringsproblemer , hvor man i betragtning af en vis funktionel søger efter funktionen for at minimere eller maksimere den. Dette er analogt med Fermats sætning i beregning , idet det angives, at på ethvert tidspunkt, hvor en differentierbar funktion opnår en lokal ekstrem, er dens derivat nul.

I Lagrangian mekanik , ifølge Hamiltons princip om stationær handling, er udviklingen af ​​et fysisk system beskrevet af løsningerne til Euler -ligningen for systemets handling . I denne sammenhæng kaldes Euler -ligninger normalt Lagrange -ligninger . I klassisk mekanik svarer det til Newtons bevægelseslove , men det har den fordel, at det har samme form i ethvert system af generaliserede koordinater , og det er bedre egnet til generaliseringer. I klassisk feltteori er der en analog ligning til at beregne dynamikken i et felt .

Historie

Euler -Lagrange -ligningen blev udviklet i 1750'erne af Euler og Lagrange i forbindelse med deres undersøgelser af tautochrone -problemet. Dette er problemet med at bestemme en kurve, hvorpå en vægtet partikel vil falde til et fast punkt i et bestemt tidsrum, uafhængigt af startpunktet.

Lagrange løste dette problem i 1755 og sendte løsningen til Euler. Begge videreudviklede Lagranges metode og anvendte den på mekanik , hvilket førte til formuleringen af Lagrangian mekanik . Deres korrespondance førte i sidste ende til beregningen af ​​variationer , et udtryk opfundet af Euler selv i 1766.

Udmelding

Lad være et mekanisk system med frihedsgrader. Her er den konfiguration rum og den Lagrange , dvs. en glat reel funktion sådan, at og er en dimensional "vektor af hastighed". (For dem, der kender differentialgeometri , er en glat manifold , og hvor er tangentbundtet af${\ displaystyle (X, L)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle L = L (t, {\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {v}})}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} \ i X,}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle L: {\ mathbb {R}} _ {t} \ gange TX \ til {\ mathbb {R}},}$${\ displaystyle TX}$${\ displaystyle X).}$

Lade være det sæt af glatte veje , for hvilke og Den handling funktionelle er defineret via ${\ displaystyle {\ cal {P}} (a, b, {\ boldsymbol {x}} _ {a}, {\ boldsymbol {x}} _ {b})}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}: [a, b] \ til X}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} (a) = {\ boldsymbol {x}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} (b) = {\ boldsymbol {x}} _ {b}.}$ ${\ displaystyle S: {\ cal {P}} (a, b, {\ boldsymbol {x}} _ {a}, {\ boldsymbol {x}} _ {b}) \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ displaystyle S [{\ boldsymbol {q}}] = \ int _ {a}^{b} L (t, {\ boldsymbol {q}} (t), {\ dot {\ boldsymbol {q} }} (t)) \, dt.}$

En sti er et stationært punkt for hvis og kun hvis ${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} \ in {\ cal {P}} (a, b, {\ boldsymbol {x}} _ {a}, {\ boldsymbol {x}} _ {b})}$${\ displaystyle S}$

Her er tidsafledningen af${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {q}}} (t)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} (t).}$

Afledning af den endimensionelle Euler-Lagrange-ligning

Afledningen af ​​den endimensionelle Euler-Lagrange-ligning er et af de klassiske beviser i matematik . Det bygger på det grundlæggende lemma for beregning af variationer . Vi ønsker at finde en funktion, der opfylder randbetingelserne , og som extremizes den funktionelle ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (a) = A}$${\ displaystyle f (b) = B}$ ${\ displaystyle J = \ int _ {a}^{b} L (x, f (x), f '(x)) \, \ mathrm {d} x \.}$ Vi antager, at det er to gange kontinuerligt differentierbart. En svagere antagelse kan bruges, men beviset bliver vanskeligere. ${\ displaystyle L}$ Hvis det funktionsmæssige emne ekstremiseres til grænsebetingelserne, skal enhver lille forstyrrelse af det, der bevarer grænseværdierne, enten stige (hvis det er en minimizer) eller falde (hvis det er en maksimalizer). ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle f}$ Lad være resultatet af en sådan forstyrrelse af , hvor er lille og er en differentierbar funktion, der tilfredsstiller . Definer derefter ${\ displaystyle g _ {\ varepsilon} (x) = f (x)+\ varepsilon \ eta (x)}$${\ displaystyle \ varepsilon \ eta (x)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ eta (x)}$${\ displaystyle \ eta (a) = \ eta (b) = 0}$ ${\ displaystyle J _ {\ varepsilon} = \ int _ {a}^{b} L (x, g _ {\ varepsilon} (x), g _ {\ varepsilon} '(x)) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {a}^{b} L _ {\ varepsilon} \, \ mathrm {d} x}$ hvor . ${\ displaystyle L _ {\ varepsilon} = L (x, \, g _ {\ varepsilon} (x), \, g _ {\ varepsilon} '(x))}$ Vi ønsker nu at beregne det samlede derivat af i forhold til ε . ${\ displaystyle J _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} \ int _ {a}^{b} L _ {\ varepsilon} \, \ mathrm {d} x = \ int _ {a}^{b} {\ frac {\ mathrm {d} L _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} \, \ mathrm {d} x.}$ Det følger af det samlede derivat, at ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} L _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} & = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} {\ frac {\ delvis L _ {\ varepsilon}} {\ delvis x}}+{\ frac {\ mathrm {d} g _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon} } {\ frac {\ delvis L _ {\ varepsilon}} {\ delvis g _ {\ varepsilon}}}+{\ frac {\ mathrm {d} g _ {\ varepsilon} '} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} {\ frac {\ delvis L _ {\ varepsilon}} {\ delvis g _ {\ varepsilon} '}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d} g _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon }} {\ frac {\ delvis L _ {\ varepsilon}} {\ delvis g _ {\ varepsilon}}}+{\ frac {\ mathrm {d} g '_ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon }} {\ frac {\ delvis L _ {\ varepsilon}} {\ delvis g '_ {\ varepsilon}}} \\ & = \ eta (x) {\ frac {\ delvis L _ {\ varepsilon}} {\ delvis g _ {\ varepsilon}}}+\ eta '(x) {\ frac {\ delvis L _ {\ varepsilon}} {\ delvis g _ {\ varepsilon}'}} \. \\\ ende {justeret}}}$ Så ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} = \ int _ {a}^{b} \ venstre [\ eta (x) {\ frac {\ delvis L _ {\ varepsilon}} {\ delvis g _ {\ varepsilon}}}+\ eta '(x) {\ frac {\ delvis L _ {\ varepsilon}} {\ delvis g _ {\ varepsilon}'}} \ , \ højre] \, \ mathrm {d} x \.}$ Når ε = 0 har vi g ε = f , L ε = L (x, f (x), f '(x)) og J ε   har en ekstremværdi , så ${\ displaystyle \ venstre. {\ frac {\ mathrm {d} J _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} \ højre | _ {\ varepsilon = 0} = \ int _ {a}^{ b} \ venstre [\ eta (x) {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f}}+\ eta '(x) {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f'}} \, \ højre ] \, \ mathrm {d} x = 0 \.}$ Det næste trin er at bruge integration af dele på integrandens anden periode, hvilket giver ${\ displaystyle \ int _ {a}^{b} \ venstre [{\ frac {\ delvis L} {\ delvis f}}-{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f '}} \ højre] \ eta (x) \, \ mathrm {d} x+\ venstre [\ eta (x) {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f '}} \ højre] _ {a}^{b} = 0 \.}$ Ved hjælp af randbetingelserne , ${\ displaystyle \ eta (a) = \ eta (b) = 0}$ ${\ displaystyle \ int _ {a}^{b} \ venstre [{\ frac {\ delvis L} {\ delvis f}}-{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f '}} \ højre] \ eta (x) \, \ mathrm {d} x = 0 \.}$ Anvendelse af det grundlæggende lemma for beregning af variationer giver nu Euler -Lagrange -ligningen ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f}}-{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis f ' }} = 0 \.}$

Alternativ afledning af den endimensionelle Euler-Lagrange-ligning

Givet en funktionel ${\ displaystyle J = \ int _ {a}^{b} L (t, y (t), y '(t)) \, \ mathrm {d} t}$ videre med randbetingelserne, og vi fortsætter med at tilnærme ekstremkurven med en polygonal linje med segmenter og passere til grænsen, da antallet af segmenter vokser vilkårligt stort. ${\ displaystyle C^{1} ([a, b])}$${\ displaystyle y (a) = A}$${\ displaystyle y (b) = B}$${\ displaystyle n}$ Opdel intervallet i lige store segmenter med slutpunkter og lad . I stedet for en glat funktion betragter vi den polygonale linje med hjørner , hvor og . Derfor bliver vores funktionelle en reel funktion af variabler givet af ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle t_ {0} = a, t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n} = b}$${\ displaystyle \ Delta t = t_ {k} -t_ {k-1}}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (t_ {n}, y_ {n})}$${\ displaystyle y_ {0} = A}$${\ displaystyle y_ {n} = B}$${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle J (y_ {1}, \ ldots, y_ {n-1}) \ approx \ sum _ {k = 0}^{n-1} L \ venstre (t_ {k}, y_ {k}, {\ frac {y_ {k+1} -y_ {k}} {\ Delta t}} \ right) \ Delta t.}$ Ekstremer af denne nye funktion defineret på de diskrete punkter svarer til punkter, hvor ${\ displaystyle t_ {0}, \ ldots, t_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis J (y_ {1}, \ ldots, y_ {n})} {\ delvis y_ {m}}} = 0.}$ Evaluering af dette partielle derivat giver ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis J} {\ delvis y_ {m}}} = L_ {y} \ venstre (t_ {m}, y_ {m}, {\ frac {y_ {m+1} -y_ {m}} {\ Delta t}} \ højre) \ Delta t+L_ {y '} \ venstre (t_ {m-1}, y_ {m-1}, {\ frac {y_ {m} -y_ { m-1}} {\ Delta t}} \ højre) -L_ {y '} \ venstre (t_ {m}, y_ {m}, {\ frac {y_ {m+1} -y_ {m}} { \ Delta t}} \ højre).}$ Dele ovenstående ligning med giver ${\ displaystyle \ Delta t}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis J} {\ delvis y_ {m} \ Delta t}} = L_ {y} \ venstre (t_ {m}, y_ {m}, {\ frac {y_ {m+1 } -y_ {m}} {\ Delta t}} \ højre)-{\ frac {1} {\ Delta t}} \ venstre [L_ {y '} \ venstre (t_ {m}, y_ {m}, {\ frac {y_ {m+1} -y_ {m}} {\ Delta t}} \ højre) -L_ {y '} \ venstre (t_ {m-1}, y_ {m-1}, {\ frac {y_ {m} -y_ {m-1}} {\ Delta t}} \ right) \ right],}$ og at tage grænsen fra højre side af dette udtryk giver ${\ displaystyle \ Delta t \ to 0}$ ${\ displaystyle L_ {y}-{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} L_ {y '} = 0.}$ Venstre side af den foregående ligning er det funktionelle derivat af det funktionelle . En nødvendig betingelse for, at en differentierbar funktion har et ekstremum på en eller anden funktion, er, at dets funktionelle derivat ved denne funktion forsvinder, hvilket er givet ved den sidste ligning. ${\ displaystyle \ delta J/\ delta y}$${\ displaystyle J}$

Eksempler

En standard eksempel er at finde den reel funktion y ( x ) på intervallet [ a , b ], således at y ( a ) = c og y ( b ) = d , for hvilken sti længde langs kurven spores ved y er så kort som muligt.

${\ displaystyle {\ text {s}} = \ int _ {a}^{b} {\ sqrt {\ mathrm {d} x^{2}+\ mathrm {d} y^{2}}} = \ int _ {a}^{b} {\ sqrt {1+y '^{2}}} \, \ mathrm {d} x,}$

integrandfunktionen er L ( x , y , y ′) = √ 1 + y ′ ² .

De partielle derivater af L er:

${\ displaystyle {\ frac {\ delvis L (x, y, y ')} {\ delvis y'}} = {\ frac {y '} {\ sqrt {1+y'^{2}}}} \ \ quad {\ text {og}} \ quad {\ frac {\ delvis L (x, y, y ')} {\ delvis y}} = 0.}$

Ved at erstatte disse i Euler -Lagrange -ligningen opnår vi

${\ displaystyle {\ begin {justeret} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {y '(x)} {\ sqrt {1+ (y' (x) )^{2}}}} & = 0 \\ {\ frac {y '(x)} {\ sqrt {1+ (y' (x))^{2}}}} & = C = {\ tekst {konstant}} \\\ Højre pil y '(x) & = {\ frac {C} {\ sqrt {1-C^{2}}}} =: A \\\ Højre pil y (x) & = Ax+ B \ end {align}}}$

det vil sige, at funktionen skal have et konstant første derivat, og derfor er dens graf en lige linje .

Generaliseringer

Enkelt funktion af enkelt variabel med højere derivater

Funktionens stationære værdier

${\ displaystyle I [f] = \ int _ {x_ {0}}^{x_ {1}} {\ mathcal {L}} (x, f, f ', f' ', \ dots, f^{( k)}) ~ \ mathrm {d} x ~; ~~ f ': = {\ cfrac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}}, ~ f' ': = {\ cfrac { \ mathrm {d} ^{2} f} {\ mathrm {d} x ^{2}}}, ~ f ^{(k)}: = {\ cfrac {\ mathrm {d} ^{k} f} {\ mathrm {d} x^{k}}}}$

kan fås fra Euler -Lagrange -ligningen

${\ displaystyle {\ cfrac {\ partiel {\ mathcal {L}}} {\ delvis f}}-{\ cfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ venstre ({\ cfrac { \ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f '}} \ højre)+{\ cfrac {\ mathrm {d} ^{2}} {\ mathrm {d} x ^{2}}} \ venstre ({\ cfrac {\ partiel {\ mathcal {L}}} {\ delvis f ''}} \ højre)-\ dots +(-1) ^{k} {\ cfrac {\ mathrm {d} ^{k }} {\ mathrm {d} x^{k}}} \ venstre ({\ cfrac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f^{(k)}}} \ højre) = 0}$

under faste randbetingelser for selve funktionen såvel som for de første derivater (dvs. for alle ). Slutpunktsværdierne for det højeste derivat forbliver fleksible. ${\ displaystyle k-1}$${\ displaystyle f^{(i)}, i \ in \ {0, ..., k-1 \}}$${\ displaystyle f^{(k)}}$

Flere funktioner i en enkelt variabel med enkelt derivat

Hvis problemet indebærer at finde flere funktioner ( ) af en enkelt uafhængig variabel ( ), der definerer et ekstremum af det funktionelle ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots, f_ {m}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}, \ dots, f_ {m}] = \ int _ {x_ {0}}^{x_ {1}} {\ mathcal {L}} (x, f_ {1}, f_ {2}, \ dots, f_ {m}, f_ {1} ', f_ {2}', \ dots, f_ {m} ') ~ \ mathrm {d} x ~; ~~ f_ {i} ': = {\ cfrac {\ mathrm {d} f_ {i}} {\ mathrm {d} x}}}$

så er de tilsvarende Euler – Lagrange ligninger

${\ displaystyle {\ begin {justeret} {\ frac {\ partiel {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {i}}}-{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x }} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {i} '}} \ højre) = 0 \ end {justeret}}}$

Enkelt funktion af flere variabler med enkelt derivat

En flerdimensionel generalisering kommer fra at overveje en funktion på n variabler. Hvis der er en overflade, så ${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle I [f] = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, f, f_ {1}, \ dots, f_ {n} ) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \! ~; ~~ f_ {j}: = {\ cfrac {\ delvis f} {\ delvis x_ {j}}}}}$

er kun ekstremiseret, hvis f opfylder den delvise differentialligning

${\ displaystyle {\ frac {\ partiel {\ mathcal {L}}} {\ delvis f}}-\ sum _ {j = 1}^{n} {\ frac {\ partial} {\ delvis x_ {j} }} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {j}}} \ højre) = 0.}$

Når n = 2 og funktionel er energifunktionel , fører dette til sæbefilmens minimale overfladeproblem . ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$

Flere funktioner af flere variabler med enkelt derivat

Hvis der er flere ukendte funktioner, der skal bestemmes, og flere variabler, f.eks

${\ displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}, \ dots, f_ {m}] = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, \ dots, x_ {n }, f_ {1}, \ dots, f_ {m}, f_ {1,1}, \ dots, f_ {1, n}, \ dots, f_ {m, 1}, \ dots, f_ {m, n }) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \! ~; ~~ f_ {i, j}: = {\ cfrac {\ delvis f_ {i}} {\ delvis x_ {j}}} }$

systemet med Euler – Lagrange ligninger er

${\ displaystyle {\ begin {justeret} {\ frac {\ partiel {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {1}}}-\ sum _ {j = 1}^{n} {\ frac {\ delvis} {\ delvis x_ {j}}} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {1, j}}} \ højre) & = 0_ {1} \\ {\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {2}}}-\ sum _ {j = 1}^{n} {\ frac {\ delvis} {\ delvis x_ {j} }} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {2, j}}} \ højre) & = 0_ {2} \\\ vdots \ qquad \ vdots \ qquad & \ quad \ vdots \\ {\ frac {\ partiel {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {m}}}-\ sum _ {j = 1}^{n} {\ frac {\ delvis} { \ delvis x_ {j}}} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {m, j}}} \ højre) & = 0_ {m}. \ end {justeret }}}$

Enkelt funktion af to variabler med højere derivater

Hvis der er en enkelt ukendt funktion f, der skal bestemmes, der er afhængig af to variabler x ₁ og x _2, og hvis funktionen afhænger af højere derivater af f op til n -orden, således at

${\ displaystyle {\ begin {align} I [f] & = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}, f, f_ {1}, f_ {2 }, f_ {11}, f_ {12}, f_ {22}, \ dots, f_ {22 \ dots 2}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ & \ qquad \ quad f_ {i }: = {\ cfrac {\ delvis f} {\ delvis x_ {i}}} \;, \ quad f_ {ij}: = {\ cfrac {\ delvis ^{2} f} {\ delvis x_ {i} \ delvis x_ {j}}} \;, \; \; \ prikker \ slut {justeret}}}$

så er Euler – Lagrange ligningen

${\ displaystyle {\ begin {justeret} {\ frac {\ partiel {\ mathcal {L}}} {\ delvis f}} &-{\ frac {\ delvis} {\ delvis x_ {1}}} \ venstre ( {\ frac {\ partiel {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {1}}} \ højre)-{\ frac {\ delvis} {\ delvis x_ {2}}} \ venstre ({\ frac { \ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {2}}} \ højre)+{\ frac {\ delvis ^{2}} {\ delvis x_ {1} ^{2}}} \ venstre ( {\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {11}}} \ højre)+{\ frac {\ delvis ^{2}} {\ delvis x_ {1} \ delvis x_ {2 }}} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {12}}} \ højre)+{\ frac {\ delvis ^{2}} {\ delvis x_ {2 }^{2}}} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {22}}} \ højre) \\ &-\ dots +(-1)^{n } {\ frac {\ delvis ^{n}} {\ delvis x_ {2} ^{n}}} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {22 \ prikker 2}}} \ right) = 0 \ end {align}}}$

som hurtigt kan repræsenteres som:

${\ displaystyle {\ frac {\ partiel {\ mathcal {L}}} {\ delvis f}}+\ sum _ {j = 1}^{n} \ sum _ {\ mu _ {1} \ leq \ ldots \ leq \ mu _ {j}} (-1) ^{j} {\ frac {\ delvis ^{j}} {\ delvis x _ {\ mu _ {1}} \ punkter \ delvis x _ {\ mu _ { j}}}} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f _ {\ mu _ {1} \ punkter \ mu _ {j}}}} \ højre) = 0}$

hvor er indekser, der spænder over antallet af variabler, det vil sige, her går de fra 1 til 2. Her er summering over indekserne kun overstået for at undgå at tælle det samme partielle derivat flere gange, for eksempel vises kun én gang i den foregående ligning . ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ prikker \ mu _ {j}}$${\ displaystyle \ mu _ {1} \ prikker \ mu _ {j}}$${\ displaystyle \ mu _ {1} \ leq \ mu _ {2} \ leq \ ldots \ leq \ mu _ {j}}$${\ displaystyle f_ {12} = f_ {21}}$

Flere funktioner af flere variabler med højere derivater

Hvis der er p ukendte funktioner f _i, der skal bestemmes, som er afhængige af m variabler x ₁ ... x _m, og hvis funktionen afhænger af højere derivater af f _i op til n -orden, således at

${\ displaystyle {\ begin {align} I [f_ {1}, \ ldots, f_ {p}] & = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}; f_ {1}, \ ldots, f_ {p}; f_ {1,1}, \ ldots, f_ {p, m}; f_ {1,11}, \ ldots, f_ {p, mm} ; \ ldots; f_ {p, 1 \ ldots 1}, \ ldots, f_ {p, m \ ldots m}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ & \ qquad \ quad f_ {i, \ mu}: = {\ cfrac {\ delvis f_ {i}} {\ delvis x _ {\ mu}}} \;, \ quad f_ {i, \ mu _ {1} \ mu _ {2}}: = {\ cfrac {\ delvis ^{2} f_ {i}} {\ delvis x _ {\ mu _ {1}} \ delvis x _ {\ mu _ {2}}}} \;, \; \; \ prikker \ slut {align}}}$

hvor er indekser, der spænder over antallet af variabler, det vil sige, at de går fra 1 til m. Så er Euler -Lagrange -ligningen ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ prikker \ mu _ {j}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiel {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {i}}}+\ sum _ {j = 1}^{n} \ sum _ {\ mu _ {1} \ leq \ ldots \ leq \ mu _ {j}} (-1) ^{j} {\ frac {\ delvis ^{j}} {\ delvis x _ {\ mu _ {1}} \ punkter \ delvis x _ {\ mu _ {j}}}} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {i, \ mu _ {1} \ prikker \ mu _ {j}}}}} \ \ højre) = 0}$

hvor summeringen over det er at undgå at tælle det samme derivat flere gange, ligesom i det foregående underafsnit. Dette kan udtrykkes mere kompakt som ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ prikker \ mu _ {j}}$${\ displaystyle f_ {i, \ mu _ {1} \ mu _ {2}} = f_ {i, \ mu _ {2} \ mu _ {1}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0}^{n} \ sum _ {\ mu _ {1} \ leq \ ldots \ leq \ mu _ {j}} (-1)^{j} \ delvis _ { \ mu _ {1} \ ldots \ mu _ {j}}^{j} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ mathcal {L}}} {\ delvis f_ {i, \ mu _ {1} \ prikker \ mu _ {j}}}} \ højre) = 0}$

Generalisering til mangfoldige

Lad være en glat manifold , og lad betegne rummet for glatte funktioner . Derefter for funktionerne i formen ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C^{\ infty} ([a, b])}$ ${\ displaystyle f: [a, b] \ til M}$${\ displaystyle S: C^{\ infty} ([a, b]) \ til \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle S [f] = \ int _ {a}^{b} (L \ circ {\ dot {f}}) (t) \, \ mathrm {d} t}$

hvor er Lagrangian, er udsagnet ækvivalent med udsagnet om , at hver koordinatramme trivialisering af et kvarter af områder giver alle følgende ligninger: ${\ displaystyle L: TM \ til \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {f} = 0}$${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ ${\ displaystyle (x^{i}, X^{i})}$${\ displaystyle {\ dot {f}} (t)}$${\ displaystyle \ dim M}$

${\ displaystyle \ forall i: {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ delvis L} {\ delvis X^{i}}} {\ bigg |} _ {{\ dot {f}} (t)} = {\ frac {\ delvis L} {\ delvis x^{i}}} {\ bigg |} _ {{\ dot {f}} (t)}. }$

Se også

• Lagrangian mekanik
• Hamiltonsk mekanik
• Analytisk mekanik
• Beltrami identitet
• Funktionelt derivat

Noter

Referencer

• "Lagrange -ligninger (i mekanik)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Euler-Lagrange differentialligning" . MathWorld .
• "Variationsberegning" . PlanetMath .
• Gelfand, Izrail Moiseevich (1963). Beregning af variationer . Dover. ISBN 0-486-41448-5.
• Roubicek, T .: Beregning af variationer . Kap.17 i: Matematiske værktøjer til fysikere . (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN  978-3-527-41188-7 , s. 551–588.