Korrekt hastighed - Proper velocity
I relativitet er korrekt hastighed (også kendt som celerity ) w af et objekt i forhold til en observatør forholdet mellem observatørmålt forskydningsvektor og korrekt tid τ forløbet på ure af det bevægende objekt:
Det er et alternativ til almindelig hastighed , afstanden pr. Tidsenhed, hvor både afstand og tid måles af observatøren.
De to hastighedstyper, almindelige og korrekte, er næsten lige store ved lave hastigheder. Imidlertid bibeholder den korrekte hastighed ved høje hastigheder mange af de egenskaber, som hastigheden mister i relativitet sammenlignet med Newtonsk teori . For eksempel er korrekt hastighed lig med momentum pr. Masseenhed ved enhver hastighed og har derfor ingen øvre grænse. Ved høje hastigheder, som vist i figuren til højre, er det også proportionalt med et objekts energi.
Korrekt hastighed w kan relateres til den almindelige hastighed v via Lorentz-faktoren γ :
hvor t er koordinattid eller "korttid". Til ensrettet bevægelse er hver af disse også simpelthen relateret til en bevægende genstands hyperbolske hastighedsvinkel eller hastighed η af
- .
Introduktion
I flad rumtid er korrekt hastighed forholdet mellem den tilbagelagte afstand i forhold til en referencekartramme (bruges til at definere samtidighed) og den korrekte tid τ, der er forløbet på ure på det bevægende objekt. Det svarer til objektets momentum p divideret med dets hvilemasse m og består af de rumlignende komponenter i objektets firvektorhastighed . William Shurcliff 's monografi nævnte dets tidlige anvendelse i Sears og Brehme teksten. Fraundorf har udforsket sin pædagogiske værdi, mens Ungar, Baylis og Hestenes har undersøgt dets relevans fra gruppeteori og geometriske algebraperspektiver . Korrekt hastighed kaldes undertiden hastighed.
I modsætning til den mere velkendte koordinathastighed v er korrekt hastighed synkronfri (kræver ikke synkroniserede ure) og er nyttig til at beskrive både superrelativistisk og subrelativistisk bevægelse. Ligesom koordinathastighed og i modsætning til firevektorhastighed ligger den i det tredimensionelle stykke rumtid defineret af kortrammen. Som vist nedenfor og i eksemplet til højre tilføjes egnede hastigheder endda som tre vektorer med omskalering af komponenten uden for rammen. Dette gør dem mere nyttige til kortbaserede (f.eks. Tekniske) applikationer og mindre nyttige til at få koordinatfri indsigt. Korrekt hastighed divideret med lyshastighed c er den hyperbolske sinus af hastighed η , ligesom Lorentz-faktoren γ er hastighedens hyperbolske cosinus, og koordinathastighed v over lysspeed er hurtighedens hyperbolske tangens.
Forestil dig en genstand, der rejser gennem et område af rumtiden lokalt beskrevet af Hermann Minkowskis metriske ligning med flad plads ( cd τ) 2 = ( cd t) 2 - ( d x ) 2 . Her definerer en referencekartramme af målestokke og synkroniserede ure henholdsvis kortposition x og korttid t , og d'en, der går forud for en koordinat, betyder uendelig minimal ændring. En smule manipulation tillader en at vise, at korrekt hastighed w = d x / d τ = γ v hvor som sædvanlig koordinathastighed v = d x / dt . Således sikrer endelig w , at v er mindre end lyshastighed c . Ved at gruppere γ med v i udtrykket for relativistisk momentum p , udvider den rette hastighed også den newtonske form af momentum, da massen gange hastigheden til høje hastigheder uden behov for relativistisk masse .
Korrekt formel for hastighedsaddition
Den korrekte hastighedsaddition formel:
hvor er beta-faktoren givet af .
Denne formel giver en korrekt hastighedsgyrovektor- rummodel af hyperbolsk geometri, der bruger et helt rum sammenlignet med andre modeller af hyperbolsk geometri, der bruger skiver eller halvplan.
I et ensrettet tilfælde bliver dette kommutativt og forenkler til et Lorentz-faktorprodukt gange en koordinathastighedssum, fx til w AC = γ AB γ BC ( v AB + v BC ) , som diskuteret i anvendelsesafsnittet nedenfor.
Forhold til andre hastighedsparametre
Hastighedstabel
Tabellen nedenfor illustrerer, hvordan den korrekte hastighed af w = c eller "et kortlysår pr. Rejsendeår" er et naturligt benchmark for overgangen fra subrelativistisk til superrelativistisk bevægelse.
Tilstand / parameter | Koordinathastighed v dx / dt i enheder på c |
Hastighedsvinkel η i i -radianer |
Korrekt hastighed w dx / dτ i enheder af c |
Lorentz-faktor γ dt / dτ = E / mc 2 |
---|---|---|---|---|
Rejsende stoppede i kortramme ⇔ 1 kortår / rejsendeår |
0 | 0 | 0 | 1 |
Momentum = ½ mc ⇔ 0,5 kort-lysår / rejsende år |
1 / √ 5 ≅ 0.447 | ln [(1 + √ 5 ) / 2] ≅ 0,481 | ½ | √ 5 /2 ≅ 1,118 |
Hastighed på 0,5 hyperbolsk radian | ( e - 1) / ( e + 1) ≅ 0,462 | ½ | ½ ( √ e - 1 / √ e ) ≅ 0,521 | ½ ( √ e + 1 / √ e ) ≅ 1.128 |
Koordinathastighed = ½ c ⇔ 0,5 kort-lysår / kort-år |
½ | ½ ln [3] ≅ 0,549 | 1 / √ 3 ≅ 0,577 | 2 / √ 3 ≅ 1.155 |
Momentum = mc ⇔ 1 kort-lysår / rejsende-år |
1 / √ 2 ≅ 0,707 | ln [1 + √ 2 ] ≅ 0.881 | 1 | √ 2 ≅ 1.414 |
Hastighed på 1 hyperbolsk radian | ( e 2 - 1) / ( e 2 + 1) ≅ 0,761 | 1 | ½ ( e - 1 / e ) ≅ 1.175 | ½ ( e + 1 / e ) ≅ 1.543 |
Kinetisk energi = mc 2 ⇔ 2 kortår / rejsende år |
√ 3 /2 ≅ 0,866 | ln [ √ 3 + 2] ≅ 1.317 | √ 3 ≅ 1.732 | 2 |
Momentum = 2mc ⇔ 2 kort-lysår / rejsende år |
2 / √ 5 ≅ 0,894 | ln [2 + √ 5 ] ≅ 1.444 | 2 | √ 5 ≅ 2.236 |
Hastighed af 2 hyperbolske radianer | ( e 4 −1) / ( e 4 +1) ≅ 0,964 | 2 | ½ ( e 2 - 1 / e 2 ) ≅ 3.627 | ½ ( e 2 + 1 / e 2 ) ≅ 3.762 |
Koordinathastighed = c ⇔ 1 kort-lysår / kort-år |
1 | ∞ | ∞ | ∞ |
Bemærk ovenfra, at hastighedsvinklen η og den korrekte hastighed w løber fra 0 til uendelig og sporer koordinathastigheden, når w << c . På den anden side, når w >> c , sporer korrekt hastighed Lorentz-faktor, mens hastighedsvinklen er logaritmisk og dermed stiger meget langsommere.
Interconversion ligninger
Følgende ligninger konverterer mellem fire alternative hastighedsmål (eller ensrettet hastighed), der strømmer fra Minkowskis metriske ligning med flad plads:
- .
Lorentz-faktor γ: energi over mc 2 ≥ 1
Korrekt hastighed w : momentum pr. Masseenhed
Koordinathastighed: v ≤ c
Hyperbolshastighedsvinkel eller hastighed
eller med hensyn til logaritmer:
- .
Ansøgninger
Sammenligning af hastigheder ved høj hastighed
Korrekt hastighed er nyttig til at sammenligne genstande med momentum pr. Hvilemasse ( w ) større end lyshastighed c . Koordinathastigheden for sådanne genstande er generelt tæt på lyshastighed, hvorimod korrekt hastighed fortæller os, hvor hurtigt de dækker jorden på ure til rejseobjekter . Dette er fx vigtigt, hvis de genstande, som nogle kosmiske strålepartikler, har en begrænset levetid. Korrekt hastighed viser os også til objektets momentum, som ikke har nogen øvre grænse.
For eksempel ville en 45 GeV-elektron accelereret af Large Electron – Positron Collider (LEP) ved Cern i 1989 have haft en Lorentz-faktor γ på ca. 88.000 (45 GeV divideret med elektronhvilen på 511 keV). Dens koordinathastighed v ville have været omkring fire og tres billioner af genstanden for lyshastighed c med 1 lyssekund pr. Kort sekund. På den anden side ville dens korrekte hastighed have været w = γv ~ 88.000 lyssekunder pr. Rejsende sekund. Til sammenligning vil koordinathastigheden for et 250 GeV-elektron i den foreslåede International Linear Collider (ILC) forblive nær c , mens den korrekte hastighed vil stige betydeligt til ~ 489.000 lyssekunder pr. Rejsende sekund.
Korrekt hastighed er også nyttig til sammenligning af relative hastigheder langs en linje ved høj hastighed. I dette tilfælde
hvor A, B og C henviser til forskellige objekter eller referencerammer. For eksempel henviser w AC til den korrekte hastighed af objekt A med hensyn til objekt C. Ved beregning af den relative korrekte hastighed multipliceres Lorentz-faktorer, når koordinathastigheder tilføjes.
Derfor hver af to elektroner (A og C) i en front-kollision ved 45 GeV i laboratorierammen (B) ville se den anden komme mod dem ved v AC ~ c og w AC = 88.000 2 (1 + 1) ~ 1,55 × 10 10 lyssekunder pr. Rejsende sekund. Således fra målets synspunkt kan kollidere udforske kollisioner med meget højere projektilenergi og momentum pr. Masseenhed.
Korrekte hastighedsbaserede spredningsforhold
Plotting "( γ - 1) versus korrekt hastighed" efter multiplikation af førstnævnte med mc 2 og sidstnævnte med masse m , for forskellige værdier af m giver en familie af kinetisk energi versus momentumkurver, der inkluderer de fleste af de bevægelige objekter, der opstår i hverdagen . Sådanne plot kan for eksempel bruges til at vise, hvor lightspeed, Plancks konstante og Boltzmann energi kT figur ind.
For at illustrere viser figuren til højre med log-log-akser objekter med den samme kinetiske energi (vandret relateret), der bærer forskellige mængder momentum, samt hvordan hastigheden af et objekt med lav masse sammenlignes (ved lodret ekstrapolering) med hastighed efter perfekt uelastisk kollision med en stor genstand i hvile. Højt skrånende linjer (stigning / løb = 2) markerer konturer af konstant masse, mens linjer af enhedshældning markerer konturer af konstant hastighed.
Objekter, der passer pænt på dette plot er mennesker køre biler, støvpartikler i Brownsk bevægelse , et rumskib i kredsløb omkring solen, molekyler ved stuetemperatur, et kampfly på Mach 3, en radiobølge foton , en person bevæger sig på en lightyear pr rejsende år, pulsen af en 1,8 MegaJoule laser , en 250 GeV elektron og vores observerbare univers med den sorte legems kinetiske energi forventes af en enkelt partikel ved 3 kelvin.
Envejsacceleration via korrekt hastighed
Korrekt acceleration ved enhver hastighed er den fysiske acceleration, som en genstand oplever lokalt . I rumtid er det en trevektoracceleration med hensyn til objektets øjeblikkeligt varierende fritflydende ramme. Dens størrelse α er den ramme-invariante størrelse af objektets fire-acceleration . Korrekt acceleration er også nyttigt fra udsigtspunktet (eller udsnittet for rumtid) for eksterne observatører. Ikke kun kan observatører i alle rammer være enige om størrelsen, men det måler også, i hvilket omfang en accelererende raket "har sin pedal til metallet".
I et ensrettet tilfælde, dvs. når objektets acceleration er parallel eller anti-parallel med dets hastighed i observatørens rumtidssnit, er ændringen i korrekt hastighed integralet af korrekt acceleration over kort tid, dvs. Δ w = α Δ t for konstant α . Ved lave hastigheder reduceres dette til det velkendte forhold mellem koordinathastighed og koordinataccelerationstider korttid , dvs. Δ v = a Δ t . For konstant ensrettet korrekt acceleration findes der lignende forhold mellem hurtighed η og forløbet korrekt tid Δ τ samt mellem Lorentz-faktor γ og tilbagelagt afstand Δ x . For at være specifik:
- ,
hvor som nævnt ovenfor de forskellige hastighedsparametre er relateret til
- .
Disse ligninger beskriver nogle konsekvenser af accelereret kørsel med høj hastighed. Forestil dig f.eks. Et rumskib, der kan accelerere sine passagerer ved 1 g (eller 1,03 lysår / år 2 ) halvvejs til deres destination, og derefter decelerere dem ved 1 g for den resterende halvdel for at give jordlignende kunstig tyngdekraft fra punkt A at pege B over den kortest mulige tid. For en kort afstand på Ax AB , den første ligning ovenfor forudsiger et midtpunkt lorentzfaktoren (op fra sin enhed hvile værdi) af γ mid = 1 + α (Ax AB / 2) / c 2 . Derfor er rundturstiden på rejsende ure Δτ = 4 (c / α) cosh −1 [γ mid ], hvor den forløbne tid på korture vil være Δt = 4 (c / α) sinh [cosh −1 [γ midt ]].
Dette forestillede rumskib kunne tilbyde rundrejser til Proxima Centauri, der varer omkring 7,1 rejsende år (~ 12 år på jordure), rundrejser til Mælkevejens centrale sorte hul på omkring 40 år (~ 54.000 år forløbet på jordure), og rundrejser til Andromeda Galaxy, der varer omkring 57 år (over 5 millioner år på jordure). Desværre, mens raketacceleration på 1 g let kan opnås, kan de ikke opretholdes over lange perioder.
Se også
- Kinematik : til at studere måder, hvor positionen ændrer sig med tiden
- Lorentz-faktor : γ = dt / d τ eller kinetisk energi over mc 2
- Hurtighed : hyperbolsk hastighed vinkel i imaginære radianer
- Fire hastigheder : kombinerer rejse gennem tid og rum
- Ensartet acceleration : holder koordinatacceleration fast
- Gullstrand – Painlevé-koordinater : fritflydende rammer i buet rumtid.