Isoperimetrisk ulighed - Isoperimetric inequality

I matematik er den isoperimetriske ulighed en geometrisk ulighed, der involverer omkredsen af ​​et sæt og dets volumen. I -dimensionelt rum grænser uligheden lavere overfladearealet eller omkredsen af et sæt ved dets volumen , ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {per} (S)}$${\ displaystyle S \ delsæt \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {bind} (S)}$

${\ displaystyle \ operatorname {per} (S) \ geq n \ operatorname {vol} (S)^{\ frac {n-1} {n}} \, \ operatorname {vol} (B_ {1})^{ \ frac {1} {n}}}$,

hvor er en enhedsfære . Ligheden er kun gældende, når der er en kugle i . ${\ displaystyle B_ {1} \ undersæt \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

På et fly, dvs. når , den isoperimetriske ulighed relaterer kvadratet af omkredsen af en lukket kurve og arealet af et planområde, det omslutter. Isoperimetrisk betyder bogstaveligt talt "at have den samme omkreds ". Specifikt i angiver den isoperimetriske ulighed for længden L af en lukket kurve og arealet A i den plane region, den omslutter, at ${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$

${\ displaystyle L^{2} \ geq 4 \ pi A,}$

og at ligestilling holder, hvis og kun hvis kurven er en cirkel.

Det isoperimetriske problem er at bestemme en planfigur af det størst mulige område, hvis grænse har en bestemt længde. Det nært beslægtede Didos problem beder om et område af det maksimale område afgrænset af en lige linje og en krumlinjet bue, hvis endepunkter tilhører den linje. Det er opkaldt efter Dido , den legendariske grundlægger og første dronning af Kartago . Løsningen på det isoperimetriske problem er givet af en cirkel og var kendt allerede i det antikke Grækenland . Det første matematisk strenge bevis på denne kendsgerning blev imidlertid først opnået i det 19. århundrede. Siden da er der fundet mange andre beviser.

Det isoperimetriske problem er blevet udvidet på flere måder, for eksempel til kurver på overflader og til områder i højere dimensionelle rum. Måske er den mest kendte fysiske manifestation af den 3-dimensionelle isoperimetriske ulighed formen på en dråbe vand. En dråbe vil nemlig typisk antage en symmetrisk rund form. Da mængden af ​​vand i en dråbe er fastsat, tvinger overfladespændingen dråbet til en form, der minimerer dråbens overfladeareal, nemlig en rund kugle.

Det isoperimetriske problem i flyet

Hvis en region ikke er konveks, kan en "bul" i dens grænse "vendes" for at øge områdets område, mens omkredsen holdes uændret.

En aflang form kan gøres mere rund, samtidig med at dens omkreds holdes fast og området øges.

Det klassiske isoperimetriske problem går tilbage til antikken. Problemet kan angives som følger: Hvilken kurve (hvis nogen) maksimerer arealet af dets lukkede område blandt alle lukkede kurver i planet med fast omkreds? Dette spørgsmål kan vise sig at svare til følgende problem: Blandt alle lukkede kurver i planet, der omslutter et fast område, hvilken kurve (hvis nogen) minimerer omkredsen?

Dette problem er konceptuelt relateret til princippet om mindst handling i fysik , idet det kan omformuleres: hvad er handlingsprincippet, der omslutter det største område med den største indsatsøkonomi? Filosofen og videnskabsmanden fra 1400-tallet, kardinal Nicholas fra Cusa , betragtede rotationshandling , den proces, hvormed en cirkel genereres, til at være den mest direkte afspejling i sanseindtryk af processen, hvorved universet skabes. Den tyske astronom og astrolog Johannes Kepler påberåbte sig det isoperimetriske princip i diskussionen af ​​solsystemets morfologi i Mysterium Cosmographicum ( The Sacred Mystery of the Cosmos , 1596).

Selvom cirklen ser ud til at være en oplagt løsning på problemet, er det ret vanskeligt at bevise dette. Det første fremskridt i retning af løsningen blev foretaget af den schweiziske geometer Jakob Steiner i 1838 ved hjælp af en geometrisk metode senere kaldet Steiner symmetrisation . Steiner viste, at hvis der eksisterede en løsning, så må det være cirklen. Steiners bevis blev afsluttet senere af flere andre matematikere.

Steiner begynder med nogle geometriske konstruktioner, som er lette at forstå; for eksempel kan det vises, at enhver lukket kurve, der omslutter et område, der ikke er fuldstændigt konveks, kan modificeres til at omslutte mere område ved at "vende" de konkave områder, så de bliver konvekse. Det kan yderligere vises, at enhver lukket kurve, der ikke er fuldstændig symmetrisk, kan "vippes", så den omslutter mere område. Den ene form, der er perfekt konveks og symmetrisk, er cirklen, selvom denne i sig selv ikke repræsenterer et stringent bevis på den isoperimetriske sætning (se eksterne links).

På et fly

Løsningen på det isoperimetriske problem udtrykkes normalt i form af en ulighed, der relaterer længden L af en lukket kurve og arealet A i det plane område, det omslutter. Den isoperimetriske ulighed siger, at

${\ displaystyle 4 \ pi A \ leq L^{2},}$

og at ligestillingen holder, hvis og kun hvis kurven er en cirkel. Det område af en skive med radius R er πR ² og omkredsen af cirklen er 2 πR , så begge sider af uligheden er lig med 4 π ² R ² i dette tilfælde.

Snesevis af beviser på den isoperimetriske ulighed er fundet. I 1902 udgav Hurwitz et kort bevis ved hjælp af Fourier -serien, der gælder for vilkårlige udbedrende kurver (antages ikke at være glatte). Et elegant direkte bevis baseret på sammenligning af en glat enkel lukket kurve med en passende cirkel blev givet af E. Schmidt i 1938. Den bruger kun buelængdeformlen , udtryk for arealet af et planområde fra Green's sætning og Cauchy– Schwarz ulighed .

For en given lukket kurve defineres den isoperimetriske kvotient som forholdet mellem dens areal og cirkelens samme omkreds. Dette er lig med

${\ displaystyle Q = {\ frac {4 \ pi A} {L^{2}}}}$

og den isoperimetriske ulighed siger, at Q ≤ 1. Tilsvarende er det isoperimetriske forhold L ² / A mindst 4 π for hver kurve.

Den isoperimetriske kvotient for en almindelig n -gon er

${\ displaystyle Q_ {n} = {\ frac {\ pi} {n \ tan {\ tfrac {\ pi} {n}}}}.}$

Lad være en glat regelmæssig konveks lukket kurve. Derefter angiver den forbedrede isoperimetriske ulighed følgende ${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle L^{2} \ geqslant 4 \ pi A+8 \ pi \ venstre | {\ widetilde {A}} _ {0.5} \ højre |,}$

hvor betegner længden af , området i området afgrænset af og det orienterede område af henholdsvis Wigner kaustik af , og ligestillingen gælder, hvis og kun hvis er en kurve med konstant bredde . ${\ displaystyle L, A, {\ widetilde {A}} _ {0.5}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

På en kugle

Lad C være en simpel lukket kurve på en kugle med radius 1. betegne som L længden af C og ved A område afgrænset af C . Den sfæriske isoperimetriske ulighed siger, at

${\ displaystyle L^{2} \ geq A (4 \ pi -A),}$

og at ligestillingen holder, hvis og kun hvis kurven er en cirkel. Der er faktisk to måder at måle det sfæriske område, der er omsluttet af en simpel lukket kurve, men uligheden er symmetrisk i forhold til at tage komplementet.

Denne ulighed blev opdaget af Paul Lévy (1919), der også udvidede den til højere dimensioner og generelle overflader.

I det mere generelle tilfælde af vilkårlig radius R er det kendt, at

${\ displaystyle L^{2} \ geq 4 \ pi A-{\ frac {A^{2}} {R^{2}}}.}$

I ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Den isoperimetriske ulighed siger, at en kugle har det mindste overfladeareal pr. Givet volumen. I betragtning af et afgrænset sæt med overfladeareal og volumen angiver den isoperimetriske ulighed ${\ displaystyle S \ delsæt \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {per} (S)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {bind} (S)}$

${\ displaystyle \ operatorname {per} (S) \ geq n \ operatorname {vol} (S)^{\ frac {n-1} {n}} \, \ operatorname {vol} (B_ {1})^{ \ frac {1} {n}}}$,

hvor er en enhedsbold . Ligestillingen holder, når der er en bold i . Under yderligere begrænsninger på sættet (såsom konveksitet , regelmæssighed , glat afgrænsning ) gælder ligestillingen kun for en bold. Men generelt er situationen mere kompliceret. Det relevante resultat af Schmidt (1949 , sekt. 20.7) (for et enklere bevis se Baebler (1957) ) præciseres i Hadwiger (1957 , sekt. 5.2.5) som følger. Et ekstremt sæt består af en bold og en "corona", der hverken bidrager til volumen eller til overfladearealet. Det vil sige, at ligestillingen gælder for et kompakt sæt, hvis og kun hvis den indeholder en lukket kugle, så og for eksempel kan "coronaen" være en kurve. ${\ displaystyle B_ {1} \ undersæt \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ operatorname {vol} (B) = \ operatorname {vol} (S)}$${\ displaystyle \ operatorname {per} (B) = \ operatorname {per} (S).}$

Beviset for uligheden følger direkte af Brunn-Minkowski ulighed mellem et sæt og en bold med radius , dvs. . Ved at tage Brunn – Minkowski ulighed til magten , trække fra begge sider, dividere dem med og tage grænsen som ( Osserman (1978) ; Federer (1969 , §3.2.43)). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle B _ {\ epsilon} = \ epsilon B_ {1}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ operatorname {bind} (S)}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ epsilon \ til 0.}$

I fuldstændighed ( Federer 1969 , §3.2.43) angiver den isoperimetriske ulighed, at for ethvert sæt, hvis lukning har en endelig Lebesgue -foranstaltning${\ displaystyle S \ delsæt \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle n \, \ omega _ {n}^{\ frac {1} {n}} L^{n} ({\ bar {S}})^{\ frac {n-1} {n}} \ leq M _ {*}^{n-1} (\ delvis S)}$

hvor er den ( n -1) -dimensional Minkowski indhold , L ⁿ er den n -dimensionale Lebesgue foranstaltning, og ω _n er volumenet af enheden bolden i . Hvis grænsen for S kan udbedres , er Minkowski -indholdet ( n -1) -dimensionelle Hausdorff -mål . ${\ displaystyle M _ {*}^{n-1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Den n -dimensionale isoperimetriske ulighed er ækvivalent (for tilstrækkeligt glatte domæner) til Sobolev -uligheden på med optimal konstant: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle \ venstre (\ int _ {\ mathbb {R}^{n}} | u |^{\ frac {n} {n-1}} \ højre)^{\ frac {n-1} {n }} \ leq n^{-1} \ omega _ {n}^{-{\ frac {1} {n}}} \ int _ {\ mathbb {R}^{n}} | \ nabla u |}$

for alle . ${\ displaystyle u \ i W ^{1,1} (\ mathbb {R} ^{n})}$

I Hadamard -manifolder

Hadamard -manifolder er komplette, enkelt forbundne manifolder med ikke -positiv krumning. Således generaliserer de det euklidiske rum , som er et Hadamard -manifold med krumning nul. I 1970'erne og begyndelsen af ​​80'erne formodede Thierry Aubin , Misha Gromov , Yuri Burago og Viktor Zalgaller, at den euklidiske isoperimetriske ulighed ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle \ operatorname {per} (S) \ geq n \ operatorname {vol} (S)^{\ frac {n-1} {n}} \ operatorname {vol} (B_ {1})^{\ frac {1} {n}}}$

gælder for afgrænsede sæt i Hadamard -manifolder, der er blevet kendt som Cartan -Hadamard -formodningen . I dimension 2 var dette allerede blevet etableret i 1926 af André Weil , som dengang var elev af Hadamard . I dimensioner 3 og 4 blev formodningen bevist af henholdsvis Bruce Kleiner i 1992 og Chris Croke i 1984. ${\ displaystyle S}$

I et metrisk målerum

Det meste af arbejdet med isoperimetrisk problem er blevet udført i forbindelse med glatte områder i euklidiske rum , eller mere generelt, i Riemanniske manifolder . Det isoperimetriske problem kan imidlertid formuleres i meget større generalitet ved hjælp af begrebet Minkowski -indhold . Lade være en metrisk foranstaltning plads : X er et metrisk rum med metrisk d , og μ er en Borel mål på X . Den grænse foranstaltning , eller Minkowski indhold , af en målelig delmængde A af X er defineret som den lim inf${\ displaystyle (X, \ mu, d)}$

${\ displaystyle \ mu ^{+} (A) = \ liminf _ {\ varepsilon \ til 0+} {\ frac {\ mu (A _ {\ varepsilon})-\ mu (A)} {\ varepsilon}}, }$

hvor

${\ displaystyle A _ {\ varepsilon} = \ {x \ i X | d (x, A) \ leq \ varepsilon \}}$

er den ε- forlængelse af A .

Det isoperimetriske problem i X spørger, hvor lille det kan være for en given μ ( A ). Hvis X er det euklidiske plan med den sædvanlige afstand og Lebesgue -målingen, generaliserer dette spørgsmål det klassiske isoperimetriske problem til plane områder, hvis grænse ikke nødvendigvis er glat, selvom svaret viser sig at være det samme. ${\ displaystyle \ mu ^{+} (A)}$

Funktionen

${\ displaystyle I (a) = \ inf \ {\ mu ^{+} (A) | \ mu (A) = a \}}$

kaldes den isoperimetriske profil af det metriske målerum . Isoperimetriske profiler er blevet undersøgt for Cayley -grafer for diskrete grupper og for særlige klasser af Riemanniske manifolder (hvor normalt kun region A med regelmæssig grænse betragtes). ${\ displaystyle (X, \ mu, d)}$

Til grafer

I grafteori er isoperimetriske uligheder kernen i undersøgelsen af udvidelsesgrafer , som er sparsomme grafer, der har stærke forbindelsesegenskaber. Expander-konstruktioner har affødt forskning i ren og anvendt matematik med flere applikationer til kompleksitetsteori , design af robuste computernetværk og teorien om fejlkorrigerende koder .

Isoperimetriske uligheder for grafer relaterer størrelsen på toppunktsundergrupper til størrelsen af ​​deres grænse, som normalt måles ved antallet af kanter, der forlader undersættet (kantudvidelse) eller med antallet af nærliggende hjørner (toppunktsudvidelse). For en graf og et tal er følgende to standardisoperimetriske parametre for grafer. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k}$

• Kanten isoperimetrisk parameter:

${\ displaystyle \ Phi _ {E} (G, k) = \ min _ {S \ subseteq V} \ venstre \ {| E (S, {\ overline {S}}) |: | S | = k \ højre \}}$

• Toppunktet isoperimetrisk parameter:

${\ displaystyle \ Phi _ {V} (G, k) = \ min _ {S \ subseteq V} \ left \ {| \ Gamma (S) \ setminus S |: | S | = k \ right \}}$

Her betegner det sæt kanter, der forlader, og angiver det sæt hjørner, der har en nabo i . Det isoperimetriske problem består i at forstå, hvordan parametrene og opfører sig for naturlige graferfamilier. ${\ displaystyle E (S, {\ overline {S}})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Gamma (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Phi _ {E}}$${\ displaystyle \ Phi _ {V}}$

Eksempel: Isoperimetriske uligheder for hypercubes

Den -dimensionale hyperkube er grafen, hvis hjørner alle er boolske vektorer af længde , det vil sige sættet . To sådanne vektorer er forbundet med en kant ind, hvis de er lig med en enkelt bitvending, det vil sige, at deres Hamming -afstand er præcis en. Følgende er de isoperimetriske uligheder for den boolske hyperkube. ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle Q_ {d}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ {0,1 \}^{d}}$${\ displaystyle Q_ {d}}$

Edge isoperimetrisk ulighed

Edge isoperimetrisk ulighed i hyperkuben er . Denne grænse er stram, som hvert sæt, der er sæt af hjørner af enhver underkube af, vidner om . ${\ displaystyle \ Phi _ {E} (Q_ {d}, k) \ geq k (d- \ log _ {2} k)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle Q_ {d}}$

Vertex er operimetrisk ulighed

Harpers sætning siger, at Hamming -bolde har den mindste toppunktsgrænse blandt alle sæt af en given størrelse. Hamming bolde er sæt, der indeholder alle punkter af Hamming vægt på de fleste , og ingen point af Hamming vægt større end for nogle heltal . Denne sætning indebærer, at ethvert sæt med ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r+1}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle S \ subseteq V}$

${\ displaystyle | S | \ geq \ sum _ {i = 0}^{r} {d \ vælg i}}$

tilfredsstiller

${\ displaystyle | S \ cup \ Gamma (S) | \ geq \ sum _ {i = 0}^{r+1} {d \ vælg i}.}$

Som et specielt tilfælde skal du overveje formstørrelse af formularen ${\ displaystyle k = | S |}$

${\ displaystyle k = {d \ vælg 0}+{d \ vælg 1}+\ prikker+{d \ vælg r}}$

for et helt tal . Så indebærer ovenstående, at den nøjagtige toppunkt isoperimetriske parameter er ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ Phi _ {V} (Q_ {d}, k) = {d \ vælg r+1}.}$

Isoperimetrisk ulighed for trekanter

Den isoperimetriske ulighed for trekanter med hensyn til omkreds p og areal T angiver det

${\ displaystyle p^{2} \ geq 12 {\ sqrt {3}} \ cdot T,}$

med lighed for den ligesidede trekant . Dette er underforstået via AM -GM uligheden af en stærkere ulighed, som også er blevet kaldt den isoperimetriske ulighed for trekanter:

${\ displaystyle T \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc)^{\ frac {2} {3}}.}$

Se også

• Blaschke – Lebesgue sætning
• Chaplygin problem
• Kurveforkortende flow
• Udvidelsesgraf
• Gaussisk isoperimetrisk ulighed
• Isoperimetrisk dimension
• Isoperimetrisk punkt
• Liste over trekantforskelle
• Plan separator sætning
• Blandet volumen

Noter

Referencer

eksterne links

• Historien om det isoperimetriske problem ved konvergens
• Treiberg: Flere beviser på den isoperimetriske ulighed
• Isoperimetrisk sætning ved cut-the-knuden