Leibniz notation - Leibniz's notation

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716), tysk filosof, matematiker og navnebror til denne meget anvendte matematiske notation i beregning.

I calculus , Leibniz 'notation , opkaldt til ære for det 17. århundredes tyske filosof og matematiker Gottfried Wilhelm Leibniz , anvender symbolerne dx og dy at repræsentere uendeligt små (eller uendeligt ) trin på x og y , henholdsvis, ligesom Δ x og Δ y repræsenterer endelige trin på henholdsvis x og y .

Overvej y som en funktion af en variabel x eller y = f ( x ) . Hvis dette er tilfældet, så afledte af y med hensyn til x , som senere blev betragtet som grænsen

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} {\ frac {f (x + \ Delta x ) -f (x)} {\ Delta x}},}$

ifølge Leibniz var kvotienten for en uendelig forøgelse af y med en uendelig forøgelse af x , eller

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f '(x),}$

hvor højre side er Joseph-Louis Lagrange's notation for afledningen af f ved x . De uendelige intervaller kaldes differentier . Relateret til dette er integralet , hvori de uendelige minimale intervaller summeres (f.eks. For at beregne længder, områder og volumener som summer af små stykker), for hvilke Leibniz også leverede en nært beslægtet notation, der involverede de samme differentier, en notation, hvis effektivitet viste sig at være afgørende i udviklingen af ​​kontinentaleuropæisk matematik.

Leibniz koncept af uendelige dyr, der længe blev anset for at være for upræcis til at blive brugt som et fundament for kalkulation, blev til sidst erstattet af strenge koncepter udviklet af Weierstrass og andre i det 19. århundrede. Derfor blev Leibnizs kvotientnotering genfortolket til at stå for grænsen for den moderne definition. Imidlertid syntes symbolet i mange tilfælde at virke som en faktisk kvotient, og dets anvendelighed holdt det populært selv i lyset af flere konkurrerende notationer. Flere forskellige formalismer blev udviklet i det 20. århundrede, der kan give streng mening til forestillinger om uendelige dyr og uendelig små forskydninger, herunder ikke-standard analyse , tangent plads , O notation og andre.

Derivater og integraler af calculus kan pakkes ind i den moderne teori om differentierede former , hvor derivatet virkelig er et forhold på to differentier, og integralen opfører sig ligeledes i nøjagtig overensstemmelse med Leibniz-notationen. Dette kræver imidlertid, at afledte og integrerede først defineres på andre måder, og som sådan udtrykker Leibniz-notationens selvkonsistens og beregningseffektivitet snarere end at give den et nyt fundament.

Historie

Newton – Leibniz tilgang til uendelig minimal beregning blev introduceret i det 17. århundrede. Mens Newton arbejdede med strømninger og fluenter, baserede Leibniz sin tilgang på generaliseringer af summer og forskelle. Leibniz var den første til at bruge karakteren. Han baserede karakteren på det latinske ord summa ("sum"), som han skrev ſumma med de langstrakte s, der på det tidspunkt var almindeligt anvendt i Tyskland. Ved at betragte forskelle som den omvendte funktion af summering brugte han symbolet d , det første bogstav i den latinske differentiering , til at indikere denne omvendte operation. Leibniz var nervøs for notation; brugt år på at eksperimentere, justere, afvise og korrespondere med andre matematikere om dem. Notationer, han brugte til differentieringen af y, varierede successivt fra ω , l og${\ displaystyle \ textstyle \ int}$ y/dindtil han endelig slog sig ned på dy . Hans integrerede tegn optrådte først offentligt i artiklen "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (Om en skjult geometri og analyse af uindivider og uendelige), offentliggjort i Acta Eruditorum i juni 1686, men han havde brugt det i private manuskripter på mindst siden 1675. Leibniz brugte først dx i artiklen " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ", der også blev offentliggjort i Acta Eruditorum i 1684. Mens symboletdx/D yforekommer i private manuskripter fra 1675, men vises ikke i denne form i nogen af ​​de ovennævnte offentliggjorte værker. Leibniz brugte dog former som dy ad dx og dy  : dx på tryk.

Engelsk matematikere var besværet med Newtons priknotation indtil 1803, da Robert Woodhouse offentliggjorde en beskrivelse af den kontinentale notation. Senere fremmede Analytical Society ved Cambridge University vedtagelsen af ​​Leibniz's notation.

I slutningen af ​​det 19. århundrede ophørte Weierstrasss tilhængere med at tage Leibnizs notation for derivater og integraler bogstaveligt. Det vil sige, matematikere mente, at begrebet uendelige dyr indeholdt logiske modsætninger i dets udvikling. En række matematikere fra det 19. århundrede (Weierstrass og andre) fandt logisk stringente måder at behandle derivater og integraler uden uendelig størrelse ved hjælp af grænser som vist ovenfor, mens Cauchy udnyttede både uendelige størrelser og grænser (se Cours d'Analyse ). Ikke desto mindre er Leibnizs notation stadig i almindelig brug. Selvom notationen ikke behøver at blive taget bogstaveligt, er det normalt enklere end alternativer, når teknikken til adskillelse af variabler anvendes i løsningen af ​​differentialligninger. I fysiske anvendelser kan man f.eks. Betragte f ( x ) målt i meter pr. Sekund og d x i sekunder, så f ( x ) d x er i meter, og det samme gælder værdien for dens bestemte integral. På den måde er Leibniz-notationen i harmoni med dimensional analyse .

Leibniz's notation for differentiering

Antag, at en afhængig variabel y repræsenterer en funktion f af en uafhængig variabel x , dvs.

${\ displaystyle y = f (x).}$

Derefter kan afledningen af ​​funktionen f , i Leibniz's notation for differentiering , skrives som

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \, {\ text {eller}} {\ frac {d} {dx}} y \, {\ text {eller}} {\ frac {d {\ bigl (} f (x) {\ bigr)}} {dx}}.}$

Leibniz-udtrykket, også til tider skrevet dy / dx , er en af ​​flere notationer, der bruges til derivater og afledte funktioner. Et almindeligt alternativ er Lagranges notation

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \, = y '= f' (x).}$

Et andet alternativ er Newtons notation , der ofte bruges til derivater med hensyn til tid (som hastighed ), som kræver placering af en prik over den afhængige variabel (i dette tilfælde x ):

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = {\ dot {x}}.}$

Lagrange's " primære " notation er især nyttig i diskussioner af afledte funktioner og har fordelen ved at have en naturlig måde at angive værdien af ​​den afledte funktion til en bestemt værdi. Leibniz-notationen har dog andre dyder, der har holdt den populær gennem årene.

I sin moderne fortolkning udtrykket D y/dxbør ikke læses som delingen af ​​to størrelser dx og dy (som Leibniz havde forestillet sig det); snarere skal hele udtrykket ses som et enkelt symbol, der er stenografi for

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ til 0} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$

(note Δ vs. d , hvor Δ angiver en endelig forskel).

Udtrykket kan også betragtes som anvendelsen af ​​den differentielle operatør d/dx(igen et enkelt symbol) til y , betragtes som en funktion af x . Denne operatør er skrevet D i Eulers notation . Leibniz brugte ikke denne form, men hans brug af symbolet d svarer ret tæt til dette moderne koncept.

Selvom der ikke er nogen deling, der er antydet af notationen, er den delingslignende notation nyttig, da derivatoperatoren i mange situationer opfører sig som en division, hvilket gør nogle resultater om derivater lette at få og huske. Denne betegnelse har sin levetid på grund af det faktum, at det ser ud til at nå ud til selve hjertet af de geometriske og mekaniske anvendelser af kalkulationen.

Leibniz notation for højere derivater

Hvis y = f ( x ) , den n afledte af f i Leibniz notation er givet ved,

${\ displaystyle f ^ {(n)} (x) = {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}}.}$

Denne betegnelse for det andet derivat opnås ved hjælp afd/dx som operatør på følgende måde

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} \, = \, {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ret).}$

Et tredje derivat, der kan skrives som,

${\ displaystyle {\ frac {d \ left ({\ frac {d \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right)} {dx}} \ right)} {dx}} \ ,,}$

kan fås fra

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}}} \, = \, {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {d ^ {2} y } {dx ^ {2}}} til højre \, = \, {\ frac {d} {dx}} \ venstre ({\ frac {d} {dx}} \ venstre ({\ frac {dy} { dx}} \ højre) \ højre).}$

Tilsvarende kan de højere derivater opnås induktivt.

Mens det er muligt med nøje udvalgte definitioner at fortolke D y/dxsom et kvotient af differentier , bør dette ikke gøres med højere ordreformularer.

Denne notation blev dog ikke brugt af Leibniz. På tryk brugte han ikke flerlagsnotation eller numeriske eksponenter (før 1695). For at skrive x ³ for eksempel ville han skrive xxx , som det var almindeligt i hans tid. Kvadraten på en differentiering, som den f.eks. Kan vises i en buelængdeformel , blev skrevet som dxdx . Leibniz brugte dog sin d- notation, som vi i dag ville bruge operatorer, nemlig at han ville skrive et andet derivat som ddy og et tredje derivat som dddy . I 1695 begyndte Leibniz at skrive d ² ⋅ x og d ³ ⋅ x for henholdsvis ddx og dddx , men l'Hôpital brugte i sin lærebog om beregning skrevet omkring samme tid Leibniz originale former.

Anvendes i forskellige formler

En af grundene til, at Leibniz notationer i beregning har holdt ud så længe, ​​er at de tillader let tilbagekaldelse af de passende formler, der bruges til differentiering og integration. For eksempel kædereglen -suppose, at funktionen g er differentiabel i x og y = f ( u ) er differentiabel i u = g ( x ) . Derefter kan den sammensatte funktion y = f ( g ( x )) differentieres ved x, og dens derivat kan udtrykkes i Leibniz-notation som,

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dy} {du}} \ cdot {\ frac {du} {dx}}.}$

Dette kan generaliseres til at håndtere sammensætningerne af flere passende definerede og relaterede funktioner, u ₁ , u ₂ , ..., u _n og vil blive udtrykt som,

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dy} {du_ {1}}} \ cdot {\ frac {du_ {1}} {du_ {2}}} \ cdot {\ frac {du_ {2}} {du_ {3}}} \ cdots {\ frac {du_ {n}} {dx}}.}$

Også den integration ved substitution kan formel udtrykkes ved

${\ displaystyle \ int y \, dx = \ int y {\ frac {dx} {du}} \, du,}$

hvor x betragtes som en funktion af en ny variabel u, og funktionen y til venstre udtrykkes i form af x, mens den til højre udtrykkes i form af u .

Hvis y = f ( x ) hvor f er en differentierbar funktion, der er inverterbar , kan afledningen af ​​den inverse funktion, når den findes, gives ved,

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {\ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right)}},}$

hvor parenteserne tilføjes for at understrege det faktum, at derivatet ikke er en brøkdel.

Men når man løser differentialligninger, er det let at tænke på dy s og dx s som adskillelige. En af de enkleste typer af differentialligninger er

${\ displaystyle M (x) + N (y) {\ frac {dy} {dx}} = 0,}$

hvor M og N er kontinuerlige funktioner. Løsning (implicit) af en sådan ligning kan gøres ved at undersøge ligningen i dens differentielle form ,

${\ displaystyle M (x) dx + N (y) dy = 0}$

og integrering for at opnå

${\ displaystyle \ int M (x) \, dx + \ int N (y) \, dy = C.}$

Omskrivning, når det er muligt, af en differentialligning i denne form og anvendelse af ovenstående argument er kendt som adskillelse af variabler teknik til løsning af sådanne ligninger.

I hvert af disse tilfælde ser Leibniz-notationen for et derivat ud til at virke som en brøkdel, selvom det i sin moderne fortolkning ikke er en.

Moderne retfærdiggørelse af uendelige dyr

I 1960'erne, baseret på tidligere arbejde af Edwin Hewitt og Jerzy Łoś , udviklede Abraham Robinson matematiske forklaringer til Leibniz uendelige størrelser, der var acceptabelt med nutidige standarder for strenghed og udviklede ikke-standardanalyse baseret på disse ideer. Robinsons metoder bruges kun af et mindretal af matematikere. Jerome Keisler skrev en lærebog i det første år med calculus, Elementary calculus: en infinitesimal tilgang , baseret på Robinsons tilgang.

Set fra den moderne infinitesimale teori er Δ x en infinitesimal x- stigning, Δ y er den tilsvarende y- stigning, og derivatet er standarddelen af det infinitesimale forhold:

${\ displaystyle f '(x) = {\ rm {st}} {\ Bigg (} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} {\ Bigg)}}$.

Derefter indstiller man , således at pr. Definition er forholdet dy med dx . ${\ displaystyle dx = \ Delta x}$${\ displaystyle dy = f '(x) dx}$${\ displaystyle f '(x)}$

Tilsvarende, selvom de fleste matematikere nu ser en integral

${\ displaystyle \ int f (x) \, dx}$

som en grænse

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} \ sum _ {i} f (x_ {i}) \, \ Delta x,}$

hvor Δ x er et interval indeholdende x _i , så Leibniz det som summen (det integrerede tegn betegnet summering for ham) af uendeligt mange uendelige størrelser f ( x )  dx . Fra synspunktet af ikke-standard analyse er det korrekt at se integralet som standarddelen af ​​en sådan uendelig sum.

Den kompromis, der er nødvendig for at få præcisionen i disse begreber, er, at sættet med reelle tal skal udvides til sættet med hyperreale tal .

Andre notationer af Leibniz

Leibniz eksperimenterede med mange forskellige notationer inden for forskellige områder af matematik. Han følte, at god notation var grundlæggende i forfølgelsen af ​​matematik. I et brev til l'Hôpital i 1693 siger han:

En af analysens hemmeligheder består i karakteristikken, det vil sige i kunsten at dygtig udnytte de tilgængelige tegn, og du vil observere, Sir, ved det lille kabinet [om determinanter], at Vieta og Descartes ikke har kendt alle mysterierne .

Han raffinerede sine kriterier for god notering over tid og kom til at indse værdien af ​​"at vedtage symbolik, der kunne indstilles i en linje som almindelig type uden behov for at udvide mellemrummene mellem linjer for at give plads til symboler med spredte dele." F.eks. Brugte han i sine tidlige værker stærkt et vinculum til at angive gruppering af symboler, men senere introducerede han ideen om at bruge par parenteser til dette formål og appserede således sættsættere, der ikke længere skulle udvide mellemrummene mellem linjerne på en side og få siderne til at se mere attraktive ud.

Mange af de over 200 nye symboler introduceret af Leibniz er stadig i brug i dag. Udover differentierne dx , dy og det integrerede tegn (∫), der allerede er nævnt, introducerede han også kolon (:) til division, prikken (⋅) til multiplikation, de geometriske tegn til lignende (~) og kongruens (≅), brug af Recorde's lighedstegn (=) til proportioner (erstatter Oughtred's :: notation) og dobbeltsuffiksnotationen for determinanter.

Se også

• Newtons notation
• Leibniz – Newton calculus kontrovers

Bemærkninger

Referencer

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2010), Calculus / Early Transcendentals / Single Variable , Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
• Cajori, Florian (1928), A History of Mathematical Notations , New York: Dover, ISBN 0-486-67766-4
• Katz, Victor J. (1993), A History of Mathematics / An Introduction (2. udgave), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
• Mazur, Joseph (2014), Oplysende symboler / En kort historie om matematisk notation og dens skjulte kræfter , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-17337-5
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-87150-341-7