Vorticitet - Vorticity

En del af en serie om
Kontinuummekanik
Love Bevarelser Masse Momentum Energi Uligheder Clausius – Duhem (entropi)
Solid mekanik Deformation Elasticitet lineær Plasticitet Hookes lov Stress Endelig belastning Uendelig minimal belastning Kompatibilitet Bøjning Kontakt mekanikere friktion Teori om materialefejl Brudmekanik
Væskemekanik Væsker Statik  · Dynamik Archimedes 'princip  · Bernoullis princip Navier – Stokes ligninger Poiseuille ligning  · Pascals lov Viskositet ( Newtonsk  · ikke-newtonsk ) Opdrift  · Blanding  · Tryk Væsker Overfladespænding Kapillær handling Gasser Stemning Boyles lov Charles lov Gay-Lussacs lov Kombineret gaslov Plasma
Reologi Viskoelasticitet Reometri Reometer Smarte væsker Elektrorheologisk Magnetorologisk Ferrofluider
Forskere Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

I kontinuummekanik er vorticitet et pseudovektorfelt , der beskriver den lokale centrifugeringsbevægelse af et kontinuum nær et eller andet punkt, som det kunne ses af en observatør, der befinder sig på det tidspunkt og rejser sammen med strømmen. Det er en vigtig størrelse i den dynamiske teori om væsker og giver en praktisk ramme til forståelse af en række komplekse strømningsfænomener, såsom dannelse og bevægelse af hvirvelringe .

Matematisk er vorticity er krøller af strømningshastigheden : ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} \ equiv \ nabla \ times {\ vec {u}} \ ,,}$

hvor er deloperatøren . Konceptuelt kunne bestemmes ved at markere dele af et kontinuum i et lille kvarter af det pågældende punkt og se deres relative forskydninger, når de bevæger sig langs strømmen. Vorticiteten ville være det dobbelte af den gennemsnitlige vinkelhastighedsvektor for disse partikler i forhold til deres massecenter , orienteret i henhold til højrereglen . ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$

I en todimensional strømning , er altid vinkelret på planet af strømmen, og kan derfor betragtes som en skalarfelt . ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$

Eksempler

I en masse af kontinuum, der roterer som et stift legeme, er virvlen dobbelt så stor som vinkelhastighedsvektoren for denne rotation. Dette er for eksempel tilfældet i den centrale kerne af en Rankine vortex .

Vorticiteten kan være nul, selv når alle partikler strømmer langs lige og parallelle sti , hvis der er forskydning (dvs. hvis strømningshastigheden varierer på tværs af strømlinjer ). For eksempel bevæger alle partikler sig parallelt med rørets akse i den laminære strømning inden i et rør med konstant tværsnit ; men hurtigere nær denne akse og praktisk talt stille ved siden af ​​væggene. Vorticiteten er nul på aksen og maksimal nær væggene, hvor forskydningen er størst.

Omvendt kan en strømning have nul vorticitet, selvom dens partikler bevæger sig langs buede baner. Et eksempel er den ideelle irrotationshvirvel , hvor de fleste partikler roterer omkring en lige akse, med hastighed omvendt proportional med deres afstande til denne akse. En lille pakke af kontinuum, der ikke strækker sig over aksen, vil blive roteret i en forstand, men forskåret i den modsatte forstand på en sådan måde, at deres gennemsnitlige vinkelhastighed omkring deres massecenter er nul.

Eksempelstrømme:
Stiv kropslignende vortex v ∝ r	Parallel flow med forskydning	Irrotational vortex v ∝ 1/r
hvor v er strømningshastigheden, r er afstanden til vortex centrum og ∝ angiver proportionalitet . Absolutte hastigheder omkring det fremhævede punkt:
Relative hastigheder (forstørret) omkring det fremhævede punkt
Vorticitet ≠ 0	Vorticitet ≠ 0	Vorticitet = 0

En anden måde at visualisere vorticitet på er at forestille sig, at en lille del af kontinuumet øjeblikkeligt bliver fast, og resten af ​​strømmen forsvinder. Hvis den lille nye faste partikel roterer i stedet for bare at bevæge sig med strømmen, så er der vorticitet i strømmen. I nedenstående figur viser den venstre underfigur ingen urteevne, og den højre underfigur viser eksistensen af ​​virvling.

Matematisk definition

Matematisk er virvlen af ​​en tredimensionel strøm et pseudovektorfelt, normalt betegnet med , defineret som krøllen i hastighedsfeltet, der beskriver kontinuumbevægelsen. I kartesiske koordinater : ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {\ omega}} = \ nabla \ times {\ vec {v}} & = {\ begin {pmatrix} {\ dfrac {\ partial} {\ partial x}} & \, {\ dfrac {\ partial} {\ partial y}} & \, {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} \ end {pmatrix}} \\ [6px] & = {\ begin {pmatrix} {\ dfrac {\ partial v_ {z}} {\ partial y}} - {\ dfrac {\ delvis v_ {y}} {\ partial z}} & \ quad {\ dfrac {\ partial v_ {x}} {\ partial z}} - {\ dfrac {\ partial v_ {z}} {\ partial x}} & \ quad {\ dfrac {\ partial v_ {y}} {\ partial x}} - {\ dfrac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}} \ end {pmatrix}} \,. \ end { justeret}}}$

Med ord fortæller virvlen, hvordan hastighedsvektoren ændres, når man bevæger sig en uendelig minimal afstand i en retning vinkelret på den.

I en todimensional strømning, hvor hastigheden er uafhængig af -koordinaten og ikke har nogen -komponent, er vorticitetsvektoren altid parallel med -aksen og kan derfor udtrykkes som et skalarfelt ganget med en konstant enhedsvektor : ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ hat {z}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {\ omega}} = \ nabla \ times {\ vec {v}} & = {\ begin {pmatrix} {\ dfrac {\ partial} {\ partial x}} & \, {\ dfrac {\ partial} {\ partial y}} & \, {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} \ end {pmatrix}} \\ [6px] & = \ left ({\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial v_ { x}} {\ delvis y}} \ højre) {\ hat {z}} \,. \ slut {justeret}}}$

Vorticiteten er også relateret til strømningens cirkulation (linjeintegral af hastigheden) langs en lukket sti af (klassisk) Stokes 'sætning . For ethvert uendeligt minimalt overfladeelement C med normal retning og areal er cirkulationen langs omkredsen af det punktprodukt, hvor vorticiteten er i centrum af . ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle dA}$${\ displaystyle d \ Gamma}$${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} \ cdot ({\ vec {n}} \, dA)}$${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$${\ displaystyle C}$

Udvikling

Udviklingen af ​​virvelfeltet i tid er beskrevet af virvlingens ligning , som kan afledes fra ligningerne Navier – Stokes .

I mange virkelige strømme, hvor viskositeten kan negligeres (mere præcist i strømme med højt Reynolds-antal ), kan virvelfeltet modelleres med en samling af diskrete hvirvler, hvor virvlen er ubetydelig overalt undtagen i små områder af rummet omkring akserne i hvirvlerne. Dette er tilfældet i tilfælde af to-dimensionel potentialflow (dvs. to-dimensionel nulviskositetsstrøm), i hvilket tilfælde strømningsfeltet kan modelleres som et kompleksværdifelt på det komplekse plan .

Vorticitet er nyttig til at forstå, hvordan ideelle potentielle flowløsninger kan forstyrres til at modellere reelle strømme. Generelt forårsager tilstedeværelsen af ​​viskositet en diffusion af vorticitet væk fra hvirvelkernerne ind i det generelle strømningsfelt; denne strøm udgøres af et diffusionsudtryk i vorticitetstransportligningen.

Vortex linjer og vortex rør

En hvirvellinje eller vorticitetslinie er en linje, der overalt er tangent til den lokale vorticitetsvektor. Vortex-linjer defineres af forholdet

${\ displaystyle {\ frac {dx} {\ omega _ {x}}} = {\ frac {dy} {\ omega _ {y}}} = {\ frac {dz} {\ omega _ {z}}} \ ,,}$

hvor er vorticitetsvektoren i kartesiske koordinater . ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = (\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z})}$

Et hvirvelrør er overfladen i kontinuumet dannet af alle hvirvellinjer, der passerer gennem en given (reducerbar) lukket kurve i kontinuumet. 'Styrken' af et hvirvelrør (også kaldet hvirvelstrøm ) er integrationen af ​​virvlen over et tværsnit af røret og er den samme overalt langs røret (fordi virvlen har nul divergens). Det er en konsekvens af Helmholtz's sætninger (eller tilsvarende af Kelvins cirkulationssætning ), at hvirvelrørets 'styrke' i en usynlig væske også er konstant med tiden. Viskøse effekter indfører friktionstab og tidsafhængighed.

I en tredimensionel strømning, vorticity (målt ved volumen integral kan af kvadratet af dets størrelse) intensiveres, når en vortex linie forlænges - et fænomen kendt som vortex strækning . Dette fænomen opstår i dannelsen af ​​et badekar vortex i udstrømmende vand og opbygningen af ​​en tornado ved stigende luftstrømme.

Vorticitetsmålere

Vorticitetsmåler til roterende vinge

En roterende vinge-vorticitetsmåler blev opfundet af den russiske hydrauliske ingeniør A. Ya. Milovich (1874–1958). I 1913 foreslog han en kork med fire knive fastgjort som en enhed, der kvalitativt viser størrelsen af ​​den lodrette projektion af virvlen og demonstrerede en filmfotografering af flyderens bevægelse på vandoverfladen i en model af en flodbøjning.

Vorticitetsmålere med roterende vinge vises almindeligvis i undervisningsfilm om kontinuummekanik (berømte eksempler inkluderer NCFMFs "Vorticity" og "Fundamental Principles of Flow" af Iowa Institute of Hydraulic Research).

Specifikke videnskaber

Luftfart

I aerodynamik kan liftfordelingen over en endelig vinge tilnærmes ved at antage, at hvert tværgående segment af vingen har en semi-uendelig efterfølgende hvirvel bag sig. Det er så muligt at løse styrken af ​​hvirvlerne ved hjælp af kriteriet, at der ikke er nogen strøm induceret gennem overfladen af ​​vingen. Denne procedure kaldes vortexpanelmetoden til beregningsvæskedynamik . Virvlerne styrkes derefter sammen for at finde den samlede omtrentlige cirkulation omkring vingen. Ifølge Kutta – Joukowski-sætningen er lift produktet af cirkulation, lufthastighed og lufttæthed.

Atmosfæriske videnskaber

Den relative vorticitet er vorticiteten i forhold til Jorden induceret af lufthastighedsfeltet. Dette lufthastighedsfelt er ofte modelleret som en todimensionel strømning parallelt med jorden, så den relative vorticitetsvektor generelt er skalar rotationsmængde vinkelret på jorden. Vorticitet er positiv, når vinden - ser ned på jordens overflade - drejer mod uret. På den nordlige halvkugle kaldes positiv vorticitet cyclonic rotation , og negativ vorticitet er anticyclonic rotation ; nomenklaturen vendes på den sydlige halvkugle.

Den absolutte vorticitet beregnes ud fra lufthastigheden i forhold til en inertiramme og inkluderer derfor et udtryk på grund af jordens rotation, Coriolis-parameteren .

Den potentielle vorticitet er absolut vorticitet divideret med den lodrette afstand mellem niveauer af konstant (potentiel) temperatur (eller entropi ). En luftmasses absolutte vorticitet vil ændre sig, hvis luftmassen strækkes (eller komprimeres) i lodret retning, men den potentielle vorticitet bevares i en adiabatisk strømning. Da adiabatisk strøm dominerer i atmosfæren, er den potentielle vorticitet nyttig som en tilnærmet sporstof af luftmasser i atmosfæren over tidsskalaen på et par dage, især når den ses på niveauer af konstant entropi.

Den barotrope vorticitetsligning er den enkleste måde at forudsige bevægelsen af Rossby-bølger (det vil sige trug og kamme på 500  hPa geopotential højde ) over en begrænset tid (et par dage). I 1950'erne benyttede de første vellykkede programmer til numerisk vejrudsigt denne ligning.

I moderne numeriske vejrudsigtsmodeller og generelle cirkulationsmodeller (GCM'er) kan vorticitet være en af ​​de forudsagte variabler, i hvilket tilfælde den tilsvarende tidsafhængige ligning er en prognostisk ligning .

Relateret til begrebet vorticitet er heliciteten , defineret som ${\ displaystyle H (t)}$

${\ displaystyle H (t) = \ int _ {V} {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ omega}} \, dV}$

hvor integralet er over et givet volumen . I atmosfærisk videnskab er heliciteten af ​​luftbevægelsen vigtig i forudsigelsen af superceller og potentialet for tornadisk aktivitet. ${\ displaystyle V}$

Se også

• Barotropisk vorticitetsligning
• D'Alemberts paradoks
• Enstrofi
• Hastighedspotentiale
• Vortex
• Vortex-rør
• Vortex stretching
• Horseshoe vortex
• Vingespidshvirvler

Væskedynamik

• Biot-Savart-lov
• Cirkulation
• Vorticitetsligninger
• Kutta – Joukowski sætning

Atmosfæriske videnskaber

• Prognostisk ligning
• Carl-Gustaf Rossby
• Hans Ertel

Referencer

Bibliografi

• Acheson, DJ (1990). Elementær væskedynamik . Oxford University Press. ISBN 0-19-859679-0.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1987). Fluid Mechanics (2. udgave). Elsevier. ISBN 978-0-08-057073-0.
• Pozrikidis, C. (2011). Introduktion til teoretisk og beregningsmæssig væskedynamik . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-975207-2.
• Guyon, Etienne; Hulin, Jean-Pierre; Petit, Luc; Mitescu, Catalin D. (2001). Fysisk hydrodynamik . Oxford University Press. ISBN 0-19-851746-7.
• Batchelor, GK (2000) [1967], En introduktion til væskedynamik , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66396-2
• Clancy, LJ (1975), Aerodynamics , Pitman Publishing Limited, London ISBN  0-273-01120-0
• " Weather Glossary " 'The Weather Channel Interactive, Inc. .. 2004.
• " Vorticitet ". Integreret udgivelse.

Yderligere læsning

• Ohkitani, K., " Elementær redegørelse for virvling og relaterede ligninger ". Cambridge University Press. 30. januar 2005. ISBN  0-521-81984-9
• Chorin, Alexandre J. , " Vorticitet og turbulens ". Anvendt matematisk videnskab, bind 103, Springer-Verlag. 1. marts 1994. ISBN  0-387-94197-5
• Majda, Andrew J. , Andrea L. Bertozzi, " Vorticity and Incompressible Flow ". Cambridge University Press; 2002. ISBN  0-521-63948-4
• Tritton, DJ , " Physical Fluid Dynamics ". Van Nostrand Reinhold, New York. 1977. ISBN  0-19-854493-6
• Arfken, G., " Mathematical Methods for Physicists ", 3. udgave. Academic Press, Orlando, Florida. 1985. ISBN  0-12-059820-5

eksterne links

• Weisstein, Eric W., " Vorticity ". Scienceworld.wolfram.com.
• Doswell III, Charles A., " A Primer on Vorticity for Application in Supercells and Tornadoes ". Cooperative Institute for Mesoscale Meteorological Studies, Norman, Oklahoma.
• Cramer, MS, " Navier – Stokes ligninger - Vorticitetstransport sætninger : Introduktion ". Grundlaget for væskemekanik.
• Parker, Douglas, " ENVI 2210 - Atmosphere and Ocean Dynamics, 9: Vorticity ". Miljøskolen, University of Leeds. September 2001.
• Graham, James R. , " Astronomy 202: Astrophysical Gas Dynamics ". Astronomiafdeling, UC Berkeley .
  • " Vorticitetsligningen: ukomprimerbare og barotrope væsker ".
  • " Fortolkning af hvirvlingsligningen ".
  • " Kelvins vorticitetssætning for ukomprimerbar eller barotrop flow ".
• " Spherepack 3.1 ". (inkluderer en samling af FORTRAN vorticitetsprogram)
• " Mesoscale Komprimerbar EF (MC2) Real-Time Model Forudsigelser ". (Potentiel vorticitetsanalyse)