Deformation (fysik) - Deformation (physics)
Del af en serie om |
Kontinuummekanik |
---|
I fysik , deformation er kontinuum mekanik transformation af en krop fra en henvisning konfiguration til en aktuel konfiguration. En konfiguration er et sæt, der indeholder positionerne for alle partikler i kroppen.
En deformation kan opstå på grund af ydre belastninger , kropskræfter (såsom tyngdekraft eller elektromagnetiske kræfter ) eller ændringer i temperatur, fugtindhold eller kemiske reaktioner osv.
Stamme er relateret til deformation med hensyn til relativ forskydning af partikler i kroppen, der udelukker stive kropsbevægelser. Der kan træffes forskellige ækvivalente valg til ekspression af et belastningsfelt afhængigt af, om det er defineret i forhold til kroppens indledende eller endelige konfiguration, og om den metriske tensor eller dens dual betragtes.
I et kontinuerligt legeme skyldes et deformationsfelt et stressfelt på grund af påførte kræfter eller på grund af nogle ændringer i kroppens temperaturfelt. Forholdet mellem stress og belastning udtrykkes ved konstitutive ligninger , f.eks. Hookes lov for lineære elastiske materialer. Deformationer, der ophører med at eksistere, efter at spændingsfeltet er fjernet, betegnes som elastisk deformation . I dette tilfælde genopretter kontinuum sin oprindelige konfiguration fuldstændigt. På den anden side forbliver irreversible deformationer. De eksisterer, selv efter at spændinger er blevet fjernet. En form for irreversibel deformation er plastisk deformation , der opstår i materielle legemer, efter at spændinger har nået en vis tærskelværdi kendt som den elastiske grænse eller flydespænding , og er et resultat af skrid eller dislokationsmekanismer på atomniveau. En anden form for irreversibel deformation er viskøs deformation , som er den irreversible del af viskoelastisk deformation.
I tilfælde af elastiske deformationer, svarfunktionen forbinder stamme til den deformerende stress er overensstemmelse tensor af materialet.
Stamme
Stamme repræsenterer forskydningen mellem partikler i kroppen i forhold til en referencelængde.
Deformation af et legeme udtrykkes i formen x = F ( X ), hvor X er referencepositionen for kroppens materielle punkter. En sådan foranstaltning skelner ikke mellem stive kropsbevægelser (oversættelser og rotationer) og ændringer i kroppens form (og størrelse). En deformation har længdeenheder.
Vi kunne for eksempel definere stamme til at være
hvor jeg er identitetstensoren . Derfor er stammer dimensionsløse og udtrykkes normalt som en decimalfraktion , en procentdel eller i dele-pr-notation . Stammer måler, hvor meget en given deformation lokalt adskiller sig fra en stiv kropsdeformation.
En stamme er generelt en tensormængde . Fysisk indsigt i stammer kan opnås ved at observere, at en given stamme kan nedbrydes til normale og forskydende komponenter. Mængden af strækning eller kompression langs materialelinjeelementer eller fibre er den normale belastning , og mængden af forvrængning, der er forbundet med glidning af plane lag over hinanden, er forskydningsbelastningen i et deformerende legeme. Dette kan anvendes ved forlængelse, forkortelse eller volumenændringer eller vinkelforvrængning.
Belastningstilstanden ved et materialepunkt i et kontinuumlegeme defineres som helheden af alle ændringer i længden af materialelinjer eller fibre, den normale belastning , der passerer gennem dette punkt og også helheden af alle ændringer i vinklen mellem par linjer oprindeligt vinkelret på hinanden, forskydningsbelastningen , der udstråler fra dette punkt. Det er imidlertid tilstrækkeligt at kende de normale og forskydningskomponenter af belastning i et sæt af tre indbyrdes vinkelrette retninger.
Hvis der er en stigning i længden af materialelinjen, kaldes den normale belastning for trækbelastning , ellers hvis der er reduktion eller komprimering i materialeliniens længde, kaldes den for trykstamning .
Stamme foranstaltninger
Afhængigt af mængden af belastning eller lokal deformation er analysen af deformation opdelt i tre deformationsteorier:
- Endelig belastningsteori , også kaldet stor belastningsteori , stor deformationsteori , omhandler deformationer, hvor både rotationer og stammer er vilkårligt store. I dette tilfælde er de u deformerede og deformerede konfigurationer af kontinuum væsentligt forskellige, og der skal sondres klart mellem dem. Dette er sædvanligvis tilfældet med elastomerer , plastisk deformerende materialer og andre væsker og biologisk blødt væv .
- Infinitesimal stamteori , også kaldet lille belastningsteori , lille deformationsteori , lille forskydningsteori eller lille forskydning-gradientteori, hvor stammer og rotationer begge er små. I dette tilfælde kan de deformerede og deformerede konfigurationer af kroppen antages at være identiske. Den uendelige belastningsteori bruges til analyse af deformationer af materialer, der udviser elastisk adfærd, såsom materialer, der findes i mekaniske og anlægsapplikationer, f.eks. Beton og stål.
- Stor forskydning eller stor rotationsteori , der antager små belastninger, men store rotationer og forskydninger.
I hver af disse teorier defineres stammen derefter forskelligt. Den teknik stammen er den mest almindelige definition for brugte i mekanisk og strukturel engineering materialer, som udsættes for meget små deformationer. På den anden side, for nogle materialer, f.eks. Elastomerer og polymerer, der udsættes for store deformationer, er den tekniske definition af stamme ikke anvendelig, f.eks. Typiske ingeniørstammer større end 1%, derfor kræves andre mere komplekse definitioner af stamme, såsom strækning , logaritmisk stamme , grøn stamme og Almansi stamme .
Teknisk belastning
Den Engineering stamme også kendt som Cauchy stamme udtrykkes som forholdet mellem totale deformation til den oprindelige dimension af materialelegemet, hvorpå kræfter påføres. Den engineering normal stamme eller engineering udvidet tøjning eller nominel stamme e af et materiale linje element eller fiber aksialt belastet udtrykkes som ændringen i længden Δ L per enhed af den oprindelige længde L af linieelementet eller fibre. Den normale belastning er positiv, hvis materialefibrene strækkes og negative, hvis de komprimeres. Således har vi
hvor e er den tekniske engineering -stamme , L er fiberens oprindelige længde og l er fiberens endelige længde. Målinger af belastning udtrykkes ofte i dele pr. Million eller mikrostammer.
Den sande forskydningsbelastning er defineret som ændringen i vinklen (i radianer) mellem to materialelinjeelementer, der oprindeligt var vinkelret på hinanden i den deformerede eller indledende konfiguration. Den tekniske forskydningsbelastning er defineret som tangenten for den vinkel og er lig med længden af deformation ved sit maksimum divideret med den vinkelrette længde i kraftplanet, der nogle gange gør det lettere at beregne.
Strækforhold
Den strækningsforhold eller udvidelse forholdet er et mål for den ekstensionelle eller normal stamme af en differentiel linie element, som kan defineres ved enten den udeformerede konfiguration eller den deformerede konfiguration. Det er defineret som forholdet mellem den endelige længde l og den oprindelige længde L af materialelinjen.
Forlængelsesforholdet er omtrent relateret til den tekniske stamme ved
Denne ligning indebærer, at den normale stamme er nul, så der ikke er nogen deformation, når strækningen er lig med enhed.
Strækforholdet bruges til analyse af materialer, der udviser store deformationer, såsom elastomerer, som kan opretholde strækforhold på 3 eller 4, før de fejler. På den anden side fejler traditionelle konstruktionsmaterialer, såsom beton eller stål, ved meget lavere strækforhold.
Ægte belastning
Den logaritmiske stamme ε , også kaldet, sand stamme eller Hencky -stamme . Overvejer en inkrementel stamme (Ludwik)
den logaritmiske stamme opnås ved at integrere denne inkrementelle stamme:
hvor e er den tekniske stamme. Den logaritmiske stamme giver det korrekte mål for den endelige stamme, når deformation finder sted i en række trin, under hensyntagen til påvirkningen af belastningsbanen.
Grøn stamme
Den grønne stamme er defineret som:
Almansi stamme
Euler-Almansi-stammen er defineret som
Normal og forskydningsbelastning
Stammer er klassificeret som enten normale eller forskydning . En normal belastning er vinkelret på et elements overflade, og en forskydningsbelastning er parallel med den. Disse definitioner er i overensstemmelse med dem for normal stress og forskydningsspænding .
Normal belastning
For et isotropisk materiale, der adlyder Hookes lov , vil en normal stress forårsage en normal belastning. Normale stammer producerer dilatationer .
Overvej et todimensionalt, uendeligt, rektangulært materialeelement med dimensioner dx × dy , som efter deformation har form af en rombe . Deformationen er beskrevet af forskydningsfeltet u . Fra geometrien i den tilstødende figur har vi
og
For meget små forskydningsgradienter er kvadratet af derivatet af ubetydeligt, og vi har
Den normale stamme i x -retningen af det rektangulære element er defineret af
På samme måde bliver den normale stamme i y- og z -directions
Forskydningsbelastning
Forskydningsbelastning | |
---|---|
Fælles symboler |
γ eller ε |
SI -enhed | 1 eller radian |
Afledninger fra andre mængder |
γ = τ/G |
Den tekniske forskydningsstamme ( γ xy ) er defineret som ændringen i vinklen mellem linjerne AC og AB . Derfor,
Fra figurens geometri har vi
For små forskydningsgradienter har vi
Ved små rotationer, dvs. α og β er ≪ 1 har vi tan α ≈ α , tan β ≈ β . Derfor,
dermed
Ved at udveksle x og y og u x og u y kan det vises, at γ xy = γ yx .
Tilsvarende for yz - og xz -planerne har vi
De tensorale forskydningsbelastningskomponenter i den uendelige stammetensor kan derefter udtrykkes ved hjælp af den tekniske stamdefinition, γ , som
Metrisk tensor
Et belastningsfelt, der er forbundet med en forskydning, defineres på et hvilket som helst tidspunkt ved ændringen i længden af de tangentvektorer, der repræsenterer hastighederne på vilkårligt parametriserede kurver, der passerer gennem dette punkt. Et grundlæggende geometrisk resultat på grund af Fréchet , von Neumann og Jordan siger, at hvis tangentvektorernes længder opfylder aksiomerne for en norm og parallelogramloven , er længden af en vektor kvadratroden af værdien af kvadratisk form forbundet med polariseringsformlen med et positivt bestemt bilineart kort kaldet den metriske tensor .
Beskrivelse af deformation
Deformation er ændringen i de metriske egenskaber for et kontinuerligt legeme, hvilket betyder, at en kurve trukket i den oprindelige kropsplacering ændrer sin længde, når den forskydes til en kurve i den sidste placering. Hvis ingen af kurverne ændrer længde, siges det, at der opstod en stiv kropsforskydning .
Det er praktisk at identificere en referencekonfiguration eller indledende geometrisk tilstand af kontinuumlegemet, som alle efterfølgende konfigurationer refereres til. Referencekonfigurationen behøver ikke at være den, kroppen faktisk nogensinde vil indtage. Ofte betragtes konfigurationen ved t = 0 som referencekonfiguration, κ 0 ( B ) . Konfigurationen på det aktuelle tidspunkt t er den aktuelle konfiguration .
Til deformationsanalyse identificeres referencekonfigurationen som en deformeret konfiguration og den nuværende konfiguration som en deformeret konfiguration . Derudover tages der ikke tid i betragtning ved analyse af deformation, derfor er sekvensen af konfigurationer mellem de deformerede og deformerede konfigurationer uden interesse.
Komponenterne Xi i positionsvektoren X for en partikel i referencekonfigurationen taget i forhold til referencekoordinatsystemet kaldes materialet eller referencekoordinaterne . På den anden side kaldes komponenterne x i af en partikels positionsvektor x i den deformerede konfiguration, taget i forhold til det rumlige koordinatsystem for referencer, de rumlige koordinater
Der er to metoder til at analysere deformationen af et kontinuum. En beskrivelse er lavet med hensyn til materialet eller referencekoordinater, kaldet materialebeskrivelse eller Lagrangian -beskrivelse . En anden beskrivelse af deformation er lavet med hensyn til de rumlige koordinater, det kaldes den rumlige beskrivelse eller euleriske beskrivelse .
Der er kontinuitet under deformation af et kontinuumlegeme i den forstand, at:
- Materialepunkterne, der danner en lukket kurve på ethvert tidspunkt, vil altid danne en lukket kurve på ethvert efterfølgende tidspunkt.
- Materialepunkterne, der danner en lukket overflade på et hvilket som helst tidspunkt, vil altid danne en lukket overflade på ethvert efterfølgende tidspunkt, og stoffet inden i den lukkede overflade vil altid forblive inden for.
Affine deformation
En deformation kaldes en affin deformation, hvis den kan beskrives ved en affin transformation . En sådan transformation består af en lineær transformation (såsom rotation, forskydning, forlængelse og kompression) og en stiv kropstranslation. Affine deformationer kaldes også homogene deformationer.
Derfor har en affin deformation formen
hvor x er positionen for et punkt i den deformerede konfiguration, X er positionen i en referencekonfiguration, t er en tidslignende parameter, F er den lineære transformer og c er translationen. I matrixform, hvor komponenterne er i forhold til et orthonormalt grundlag,
Ovenstående deformation bliver ikke-affin eller inhomogen, hvis F = F ( X , t ) eller c = c ( X , t ) .
Stiv kropsbevægelse
En stiv kropsbevægelse er en særlig affin deformation, der ikke involverer forskydning, forlængelse eller kompression. Transformationsmatrixen F er korrekt ortogonal for at tillade rotationer, men ingen refleksioner .
En stiv kropsbevægelse kan beskrives ved
hvor
I matrixform,
Forskydning
En ændring i konfigurationen af et kontinuumlegeme resulterer i en forskydning . Forskydningen af et legeme har to komponenter: en stiv kropsforskydning og en deformation. En stiv kropsforskydning består af en samtidig translation og rotation af kroppen uden at ændre dens form eller størrelse. Deformation indebærer ændring i form og/eller størrelse af kroppen fra en indledende eller ikke deformeret konfiguration κ 0 ( B ) til en nuværende eller deformeret konfiguration κ t ( B ) (figur 1).
Hvis der efter en forskydning af kontinuum er en relativ forskydning mellem partikler, er der sket en deformation. På den anden side, hvis den relative forskydning mellem partikler i den nuværende konfiguration efter forskydning af kontinuum er nul, så er der ingen deformation, og der siges at have fundet en stiv kropsforskydning sted.
Vektoren, der forbinder positionerne for en partikel P i den deformerede konfiguration og deformerede konfiguration kaldes forskydningsvektoren u ( X , t ) = u i e i i Lagrangian -beskrivelsen, eller U ( x , t ) = U J E J i den euleriske beskrivelse.
Et forskydningsfelt er et vektorfelt for alle forskydningsvektorer for alle partikler i kroppen, som relaterer den deformerede konfiguration til den deformerede konfiguration. Det er praktisk at foretage analysen af deformation eller bevægelse af et kontinuumlegeme med hensyn til forskydningsfeltet. Generelt udtrykkes forskydningsfeltet i form af materialekoordinaterne som
eller med hensyn til de rumlige koordinater som
hvor α Ji er kosinusretning mellem materialet og rumlige koordinatsystemer med enhedsvektorer henholdsvis E J og e i . Dermed
og forholdet mellem u i og U J er derefter givet af
Ved det
derefter
Det er almindeligt at overlejre koordinatsystemerne for de deformerede og deformerede konfigurationer, hvilket resulterer i b = 0 , og retningen cosinusser bliver til Kronecker -deltaer :
Således har vi
eller med hensyn til de rumlige koordinater som
Deplacement gradient tensor
Den delvise differentiering af forskydningsvektoren med hensyn til materialekoordinaterne giver materialeforskydningsgradientensoren ∇ X u . Således har vi:
eller
hvor F er deformationsgradient tensor .
Tilsvarende delvise differentiering af forskydningsvektoren i forhold til de rumlige koordinater giver den rumlige forskydning gradient tensor ∇ x U . Således har vi,
eller
Eksempler på deformationer
Homogene (eller affine) deformationer er nyttige til at belyse materialers adfærd. Nogle homogene deformationer af interesse er
Flydeformationer er også af interesse, især i den eksperimentelle kontekst.
Flydeformation
En plan deformation, også kaldet plane stamme , er en, hvor deformationen er begrænset til et af planene i referencekonfigurationen. Hvis deformationen er begrænset til det plan, der er beskrevet af basisvektorerne e 1 , e 2 , har deformationsgradienten formen
I matrixform,
Fra den polære nedbrydningssætning kan deformationsgradienten op til en koordinatændring dekomponeres til en strækning og en rotation. Da al deformation er i et plan, kan vi skrive
hvor θ er rotationsvinklen og λ 1 , λ 2 er de vigtigste strækninger .
Isochorisk plan deformation
Hvis deformationen er isokorisk (volumenbevarende) så det ( F ) = 1, og vi har
Alternativt kan
Simpel forskydning
En simpel forskydningsdeformation er defineret som en isochorisk plan deformation, hvor der er et sæt linjeelementer med en given referenceorientering, der ikke ændrer længde og retning under deformationen.
Hvis e 1 er den faste referenceorientering, hvor linjeelementer ikke deformeres under deformationen, så λ 1 = 1 og F · e 1 = e 1 . Derfor,
Da deformationen er isokorisk,
Definere
Derefter kan deformationsgradienten i simpel forskydning udtrykkes som
Nu,
Siden
vi kan også skrive deformationsgradienten som
Se også
- Deformationen af lange elementer såsom bjælker eller studs på grund af bøjningskræfter er kendt som afbøjning .
- Euler – Bernoulli stråle teori
- Deformation (teknik)
- Endelig belastningsteori
- Uendelig lille belastningsteori
- Moiré mønster
- Forskydningsmodul
- Ren stress
- Forskydningsstyrke
- Stress (mekanik)
- Stress måler
Referencer
Yderligere læsning
- Bazant, Zdenek P .; Cedolin, Luigi (2010). Tredimensionel kontinuuminstabilitet og effekter af Finite Strain Tensor, kapitel 11 i "Structures of Structures", 3. udg . Singapore, New Jersey, London: World Scientific Publishing. ISBN 9814317039.
- Dill, Ellis Harold (2006). Kontinuummekanik: Elasticitet, plasticitet, viskoelasticitet . Tyskland: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
- Hutter, Kolumban; Jöhnk, Klaus (2004). Kontinuerlige metoder til fysisk modellering . Tyskland: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
- Jirasek, M; Bazant, ZP (2002). Uelastisk analyse af strukturer . London og New York: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
- Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticitetsteori . CRC Tryk. ISBN 0-8493-1138-1.
- Macosko, CW (1994). Reologi: principper, målinger og anvendelser . VCH Forlag. ISBN 1-56081-579-5.
- Mase, George E. (1970). Kontinuummekanik . McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
- Mase, G. Thomas; Mase, George E. (1999). Kontinuummekanik for ingeniører (2. udgave). CRC Tryk. ISBN 0-8493-1855-6.
- Nemat-Nasser, Sia (2006). Plastitet: En afhandling om endelig deformation af heterogene uelastiske materialer . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
- Prager, William (1961). Introduktion til Mechanics of Continua . Boston: Ginn og Co. ISBN 0486438090.