Ordliste over topologi - Glossary of topology

Dette er en ordliste over nogle udtryk, der bruges inden for matematikgrenen kendt som topologi . Selvom der ikke er nogen absolut skelnen mellem forskellige topologiområder, er fokus her på generel topologi . De følgende definitioner er også grundlæggende for algebraisk topologi , differential topologi og geometrisk topologi .

Alle mellemrum i denne ordliste antages at være topologiske rum, medmindre andet er angivet.

EN

Absolut lukket
Se H-lukket
Tilgængelig
Se .
Akkumuleringspunkt
Se grænsepunkt .
Alexandrov topologi
Topologien for et mellemrum X er en Alexandrov -topologi (eller er endeligt genereret ), hvis vilkårlige skæringspunkter mellem åbne sæt i X er åbne eller ækvivalent, hvis vilkårlige foreninger af lukkede sæt lukkes, eller igen ækvivalent, hvis de åbne sæt er øvre sæt af en poset .
Næsten diskret
Et mellemrum er næsten diskret, hvis hvert åbent sæt er lukket (derfor lukket). De næsten diskrete rum er netop de endelig genererede nul-dimensionelle rum.
α-lukket, α-åben
En delmængde A af et topologisk rum X er α-åbent hvis , og komplementet til et sådant sæt er α-lukket.
Tilnærmelse plads
Et tilgangsrum er en generalisering af metrisk rum baseret på punkt-til-indstillede afstande i stedet for punkt-til-punkt.

B

Baire plads
Dette har to forskellige fælles betydninger:
  1. Et rum er et Baire -rum, hvis skæringspunktet mellem en tællelig samling af tætte åbne sæt er tæt; se Baire -rummet .
  2. Baires rum er sættet af alle funktioner fra de naturlige tal til de naturlige tal, med topologien punktvis konvergens; se Baire -rummet (sætteori) .
Grundlag
En samling B af åbne sæt er en base (eller basis ) for en topologi, hvis hvert åbent sæt i er en sammenslutning af sæt i . Topologien er den mindste topologi om at indeholde og siges at blive genereret af .
Basis
Se Base .
β-åben
Se Halvåbent .
b-åben, b-lukket
En delmængde af et topologisk rum er b-åbent hvis . Komplementet til et b-åbent sæt er b-lukket.
Borel algebra
Den Borel algebra på et topologisk rum er den mindste -algebra med alle de åbne sæt. Det opnås ved at tage skæringspunktet mellem alle -algebraer ved at indeholde .
Borel sæt
Et Borelsæt er et element i en Borel -algebra.
Grænse
Den grænse (eller grænse ) af et sæt er det sæt lukning minus dens indre. Tilsvarende er grænsen for et sæt skæringspunktet mellem dets lukning og lukningen af ​​dets komplement. Grænse for et sæt betegnes med eller .
Afgrænset
Et sæt i et metrisk rum er afgrænset, hvis det har en endelig diameter. Tilsvarende er et sæt afgrænset, hvis det er indeholdt i en åben kugle med en begrænset radius. En funktion, der tager værdier i et metrisk rum, er begrænset, hvis billedet er et afgrænset sæt.

C

Kategori af topologiske rum
Den kategori Top har topologiske rum som objekter og kontinuerlig kort som morfier .
Cauchy sekvens
En sekvens { x n } i et metrisk mellemrum ( M , d ) er en Cauchy -sekvens, hvis der for hvert positivt reelt tal r er et helt tal N, så for alle heltal m , n > N har vi d ( x m , x n ) < r .
Lukket sæt
Et sæt er lukket, hvis det er både åbent og lukket.
Lukket bold
Hvis ( M , d ) er et metrisk mellemrum , er en lukket kugle et sæt af formen D ( x ; r ): = { y i M  : d ( x , y ) ≤ r }, hvor x er i M og r er et positivt reelt tal , radius af bolden. En lukket kugle med radius r er en lukket r -bold . Hver lukket bold er et lukket sæt i topologien induceret på M af d . Bemærk, at den lukkede kugle D ( x ; r ) muligvis ikke er lig med lukningen af den åbne kugle B ( x ; r ).
Lukket sæt
Et sæt lukkes, hvis dets komplement er medlem af topologien.
Lukket funktion
En funktion fra et rum til et andet lukkes, hvis billedet af hvert lukket sæt lukkes.
Lukning
Den lukning af et sæt er den mindste lukkede sæt indeholder det oprindelige sæt. Det er lig med skæringspunktet mellem alle lukkede sæt, der indeholder det. Et element af lukningen af et sæt S er et punkt for lukning af S .
Lukkeroperatør
Se Kuratowski lukningsaksiomer .
Grovere topologi
Hvis X er et sæt, og hvis T 1 og T 2 er topologier på X , så T 1 er grovere (eller mindre , svagere ) end T 2 , hvis T 1 er indeholdt i T 2 . Pas på, nogle forfattere, især analytikere , bruger udtrykket stærkere .
Komeagre
Et delmængde A af et mellemrum X er comeagre ( comeager ), hvis dets komplement X \ A er magert . Kaldes også rest .
Kompakt
Et rum er kompakt, hvis hvert åbent dæksel har et begrænset undercover. Hvert kompakt rum er Lindelöf og parakompakt. Derfor er hvert kompakt Hausdorff -rum normalt. Se også quasicompact .
Kompakt-åben topologi
Den kompakt-åbne topologi på sættet C ( X , Y ) for alle kontinuerlige kort mellem to mellemrum X og Y er defineret som følger: givet et kompakt undersæt K af X og et åbent undersæt U af Y , lad V ( K , U ) betegne mængden af alle kort f i C ( X , Y ), således at f ( K ) er indeholdt i U . Så er samlingen af ​​alle sådanne V ( K , U ) en underbase til den kompakt-åbne topologi.
Komplet
Et metrisk mellemrum er komplet, hvis hver Cauchy -sekvens konvergerer.
Fuldstændig metriberbar/fuldstændig metrisable
Se hele rummet .
Helt normalt
Et mellemrum er helt normalt, hvis to adskilte sæt har uensartede kvarterer.
Helt normalt Hausdorff
Et helt normalt Hausdorff -rum (eller T 5 -mellemrum ) er et helt normalt T 1 -mellemrum. (Et helt normalt rum er Hausdorff, hvis og kun hvis det er T 1 , så terminologien er konsekvent .) Hvert helt normalt Hausdorff -rum er normalt Hausdorff.
Helt regelmæssigt
Et mellemrum er helt regelmæssigt , hvis C , når C er et lukket sæt, og x er et punkt, der ikke er i C , så er C og { x } funktionelt adskilte.
Helt T 3
Se Tychonoff .
Komponent
Se Tilsluttet komponent / Sti-tilsluttet komponent .
Tilsluttet
Et mellemrum er forbundet, hvis det ikke er foreningen af ​​et par uforbundne, ikke -fritliggende åbne sæt. Tilsvarende er et mellemrum forbundet, hvis de eneste lukkede sæt er hele rummet og det tomme sæt.
Tilsluttet komponent
En tilsluttet komponent i et rum er et maksimalt ikke -fritgjort forbundet underrum. Hver tilsluttet komponent er lukket, og sættet af tilsluttede komponenter i et rum er en partition af dette rum.
Sammenhængende
En funktion fra et rum til et andet er kontinuerlig, hvis forhåndsbilledet for hvert åbent sæt er åbent.
Kontinuum
Et rum kaldes et kontinuum, hvis det er et kompakt, forbundet Hausdorff -rum.
Kontraherbar
Et mellemrum X kan samles, hvis identitetskortet på X er homotopisk med et konstant kort. Hvert kontraktuelt rum er simpelthen forbundet.
Koprodukt topologi
Hvis { X i } er en samling af mellemrum, og X er (sæt-teoretisk) usammenhængende forening af { X i }, så er koprodukt-topologien (eller disjoint union-topologi , topologisk sum af X i ) på X den fineste topologi for hvilke alle injektionskortene er kontinuerlige.
Kosmisk rum
Et kontinuerligt billede af et adskilt metrisk rum .
Tællbar kædetilstand
Et mellemrum X opfylder den talbare kædebetingelse, hvis hver familie af ikke-tomme, parvis uforbundne åbne sæt kan tælles.
Utalligt kompakt
Et rum er betydeligt kompakt, hvis hvert tælleligt åbent dæksel har et begrænset undercover. Hvert tal, der er kompakt, er pseudokompakt og svagt talt kompakt.
Taleligt lokalt begrænset
En samling af delmængder af et rum X er tælleligt lokalt begrænset (eller σ-lokalt finite ) såfremt den er foreningen af en tællelig samling af lokalt begrænsede samlinger af delmængder af X .
Dække over
En samling af undersæt af et rum er et dækning (eller dækning ) af dette rum, hvis foreningen af ​​samlingen er hele rummet.
Dækker
Se omslag .
Skærpunkt
Hvis X er et tilsluttet rum med mere end et punkt, er et punkt x på X et afskæringspunkt, hvis underrummet X - { x } er afbrudt.

D

δ-klynge punkt, δ-lukket, δ-åben
Et punkt x af et topologisk rum X er en δ-klynge punkt af en delmængde A , hvis for ethvert åbent område U af x i X . Delsættet A er δ-lukket, hvis det er lig med sættet af dets δ-klynge punkter, og δ-åbent, hvis dets komplement er δ-lukket.
Tæt sæt
Et sæt er tæt, hvis det har et ikke -frit kryds med hvert åbent sæt, der ikke er frit. Tilsvarende er et sæt tæt, hvis dets lukning er hele rummet.
Tæt i sig selv sæt
Et sæt er tæt i sig selv, hvis det ikke har et isoleret punkt .
Massefylde
den minimale kardinalitet i en tæt delmængde af et topologisk rum. Et sæt tæthed ℵ 0 er et rum, der kan adskilles .
Afledt sæt
Hvis X er et rum, og S er en delmængde af X , den afledte sæt af S i X er det sæt af grænseværdier punkter i S i X .
Udviklingsbar plads
Et topologisk rum med en udvikling .
Udvikling
En tællelig samling af åbne dæksler af en topologisk rum, således at der for enhver lukket sæt C og ethvert punkt p i dens komplement der findes en dækning i samlingen sådan, at hvert kvarter p i dækslet er disjunkte fra C .
Diameter
Hvis ( M , d ) er et metrisk rum og S er en delmængde af M er diameteren af S er supremum af afstandene d ( x , y ), hvor x og y område over S .
Diskret metrisk
Den diskrete metrik på et sæt X er funktionen d  : X × X  →  R sådan, at for alle x , y i X , d ( x , x ) = 0 og d ( x , y ) = 1 hvis x ≠ y . De diskrete metriske inducerer den diskrete topologi på X .
Diskret plads
Et mellemrum X er diskret, hvis hver delmængde af X er åben. Vi siger, at X bærer den diskrete topologi .
Diskret topologi
Se diskret rum .
Uforenet fagforenings topologi
Se koprodukt topologi .
Spredningspunkt
Hvis X er et tilsluttet rum med mere end et punkt, så er et punkt x på X et dispersionspunkt, hvis underrummet X- { x } er arveligt afbrudt (dets eneste tilsluttede komponenter er etpunktssættene).
Afstand
Se metrisk rum .
Dunce hat (topologi)

E

Følget
Se Ensartet plads .
Ydre
Det ydre af et sæt er det indre af dets komplement.

F

F σ sæt
Et F σ sæt er en tællelig forening af lukkede sæt.
Filter
Se også: Filtre i topologi . Et filter på et mellemrum X er en ikke -fritaget familie F af undersæt af X, således at følgende betingelser holder:
  1. Den tomme sæt er ikke i F .
  2. Skæringspunktet af ethvert endeligt antal elementer i F er igen i F .
  3. Hvis A er i F og hvis B indeholder A , så B er i F .
Endelig topologi
På et sæt X med hensyn til en familie af funktioner til er den fineste topologi på X, der gør disse funktioner kontinuerlige .
Fin topologi (potentialteori)
På det euklidiske rum er den groveste topologi, der gør alle subharmoniske funktioner (tilsvarende alle superharmoniske funktioner) kontinuerlige.
Finere topologi
Hvis X er et sæt, og hvis T 1 og T 2 er topologier på X , så T 2 er finere (eller større , stærkere ) end T 1 hvis T 2 indeholder T 1 . Pas på, nogle forfattere, især analytikere , bruger udtrykket svagere .
Endeligt genereret
Se Alexandrov -topologi .
Første kategori
Se Meager .
Først tællende
Et mellemrum kan tælles først, hvis hvert punkt har en tællelig lokal base.
Fréchet
Se T 1 .
Grænse
Se Grænse .
Komplet sæt
En kompakt delmængde K af det komplekse plan kaldes fuld, hvis dets komplement er forbundet. For eksempel er den lukkede enhedsdisk fuld, mens enhedscirklen ikke er det.
Funktionelt adskilt
To sæt A og B i et mellemrum X er funktionelt adskilte, hvis der er et kontinuerligt kort f : X  → [0, 1] således, at f ( A ) = 0 og f ( B ) = 1.

G

G δ sæt
A G δ sæt eller indre begrænsende sæt er en tælleligt skæringspunktet mellem åbne sæt.
G δ mellemrum
Et mellemrum, hvor hvert lukket sæt er et G δ -sæt.
Generisk punkt
Et generisk punkt for et lukket sæt er et punkt, for hvilket det lukkede sæt er lukningen af ​​singletonsættet, der indeholder dette punkt.

H

Hausdorff
Et Hausdorff -rum (eller T 2 -mellemrum ) er et område, hvor hver to forskellige punkter har uensartede kvarterer. Hvert Hausdorff -rum er T 1 .
H-lukket
Et rum er H-lukket, eller Hausdorff lukket eller absolut lukket , hvis det er lukket i hvert Hausdorff-rum, der indeholder det.
Arveligt P
Et rum er arveligt P for nogle ejendom P hvis hver underrum er også P .
Arvelig
En egenskab af mellemrum siges at være arvelig, hvis når et rum har den egenskab, så gør hvert underrum af det. For eksempel er anden tællbarhed en arvelig ejendom.
Homeomorfisme
Hvis X og Y er mellemrum, er en homeomorfisme fra X til Y en bijektiv funktion f  :  X  →  Y således, at f og f −1 er kontinuerlige. Mellemrummene X og Y siges derefter at være homeomorfe . Set fra topologi er homeomorfe rum identiske.
Homogen
Et mellemrum X er homogent, hvis der for hver x og y i X er en homomorfisme f  : X  →  X sådan, at f ( x ) = y . Intuitivt ser rummet det samme ud på alle punkter. Hver topologisk gruppe er homogen.
Homotopiske kort
To kontinuerlige kort f , g  : X  →  Y er homotopiske (i Y ), hvis der er et kontinuerligt kort H  : X × [0, 1] →  Y, således at H ( x , 0) = f ( x ) og H ( x , 1) = g ( x ) for alle x i X . Her får X × [0, 1] produkttopologien. Funktionen H kaldes en homotopi (i Y ) mellem f og g .
Homotopi
Se Homotopic -kort .
Hyper-forbundet
Et mellemrum er hyperforbundet, hvis der ikke er to ikke-åbne åbne sæt, der er adskilt. Hvert hyperforbundet rum er forbundet.

jeg

Identifikationskort
Se kvotekort .
Identifikationsrum
Se Kvotrum .
Indiskret plads
Se Trivial topologi .
Uendelig-dimensionel topologi
Se Hilbert-manifold og Q-manifolds , dvs. (generaliseret) manifold modelleret på henholdsvis Hilbert-rummet og på Hilbert-terningen.
Indvendigt begrænsende sæt
Et G δ sæt.
Interiør
Det indre af et sæt er det største åbne sæt i det originale sæt. Det er lig med foreningen af ​​alle åbne sæt indeholdt i det. Et element i det indre af et sæt S er et indre punkt i S .
Indvendigt punkt
Se Interiør .
Isoleret punkt
Et punkt x er et isoleret punkt, hvis singletonen { x } er åben. Mere generelt, hvis S er en delmængde af et rum X , og hvis x er et punkt S , så x er et isoleret punkt i S hvis { x } er åben i sportopologi på S .
Isometrisk isomorfisme
Hvis M 1 og M 2 er metriske mellemrum, er en isometrisk isomorfisme fra M 1 til M 2 en bijektiv isometri f  : M 1  →  M 2 . De metriske rum siges derefter at være isometrisk isomorfe . Set fra metrisk rumteori er isometrisk isomorfe rum identiske.
Isometri
Hvis ( M 1 , d 1 ) og ( M 2 , d 2 ) er metriske mellemrum, er en isometri fra M 1 til M 2 en funktion f  : M 1  →  M 2 således, at d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 1 ( x , y ) for alle x , y i M 1 . Hver isometri er injektiv , selvom ikke hver isometri er subjektiv .

K

Kolmogorov aksiom
Se T 0 .
Kuratowski lukningsaksiomer
De Kuratowski lukning aksiomer er et sæt af aksiomer opfyldt med den funktion, som tager hver delmængde af X til lukning:
  1. Isotonik : Hvert sæt er indeholdt i dets lukning.
  2. Idempotence : Lukningen af ​​lukningen af ​​et sæt er lig med lukningen af ​​det sæt.
  3. Bevaring af binære fagforeninger : Lukningen af ​​foreningen af ​​to sæt er foreningen af ​​deres lukninger.
  4. Bevaring af nullary -fagforeninger : Lukningen af ​​det tomme sæt er tom.
Hvis c er en funktion fra kraftsættet på X til sig selv, så er c en lukkeoperator, hvis den opfylder Kuratowski -lukningsaksiomerne. De Kuratowski lukning aksiomer kan derefter anvendes til at definere en topologi på X ved at erklære de lukkede sæt at være de faste punkter af denne operatør, dvs. et sæt A er lukket , hvis og kun hvis c ( A ) = A .
Kolmogorov topologi
T Kol = {R, } ∪ {(a, ∞): a er et reelt tal}; parret (R, T Kol ) hedder Kolmogorov Straight .

L

L-mellemrum
Et L-mellemrum er et arveligt Lindelöf-rum, som ikke er arveligt adskilleligt . En Suslin-linje ville være et L-mellemrum.
Større topologi
Se Finere topologi .
Grænsepunkt
Et punkt x i et mellemrum X er et grænsepunkt for et delsæt S, hvis hvert åbent sæt, der indeholder x, også indeholder et andet punkt S end x selv. Dette svarer til at kræve, at hvert kvarter på x indeholder et andet punkt S end x selv.
Grænsepunkt kompakt
Se Svagt talt kompakt .
Lindelöf
Et mellemrum er Lindelöf, hvis hvert åbent omslag har et tællbart undercover.
Lokal base
Et sæt B af kvarterer i et punkt x af et rum X er en lokal base (eller lokalt plan , nabolag basen , nabolag basis ) på x , hvis hver kvarter x indeholder nogle medlem af B .
Lokalt grundlag
Se Lokal base .
Lokalt (P) rum
Der er to definitioner på, at et rum skal være "lokalt (P)", hvor (P) er en topologisk eller sætteoretisk egenskab: at hvert punkt har et kvarter med ejendom (P), eller at hvert punkt har en nabobasebase, som hvert medlem har ejendom (P). Den første definition tages normalt for lokalt kompakt, tællelig kompakt, metrisabel, adskillelig, tællbar; den anden for lokalt tilsluttet.
Lokalt lukket delmængde
En delmængde af et topologisk rum, der er skæringspunktet mellem en åben og en lukket delmængde. Tilsvarende er det en relativt åben delmængde af dens lukning.
Lokalt kompakt
Et rum er lokalt kompakt, hvis hvert punkt har et kompakt kvarter: den alternative definition, at hvert punkt har en lokal base, der består af kompakte kvarterer, bruges undertiden: disse er ækvivalente for Hausdorff -rum. Hvert lokalt kompakt Hausdorff -rum er Tychonoff.
Lokalt forbundet
Et rum er lokalt forbundet, hvis hvert punkt har en lokal base, der består af forbundne kvarterer.
Lokalt tæt
se Preopen .
Lokalt begrænset
En samling af delmængder af et rum er lokalt begrænset, hvis hvert punkt har et kvarter, der har et krydset kryds med kun endelig mange af delmængderne. Se også taleligt lokalt endelig , punkt endelig .
Lokalt metrerbar / Lokalt metriserbar
Et rum kan lokalt måles, hvis hvert punkt har et målbart kvarter.
Lokalt stiforbundet
Et rum er lokalt sti-forbundet, hvis hvert punkt har en lokal base, der består af sti-forbundne kvarterer. Et lokalt sti-forbundet rum er forbundet, hvis og kun hvis det er stiforbundet.
Lokalt enkelt forbundet
Et rum er lokalt simpelthen forbundet, hvis hvert punkt har en lokal base, der består af simpelthen forbundne kvarterer.
Sløjfe
Hvis x er et punkt i et mellemrum X , er en loop på x i X (eller en loop i X med basispunkt x ) en sti f i X , således at f (0) = f (1) = x . Ækvivalent, en løkke i X er en kontinuerlig kort fra enhedscirklen S 1 i X .

M

Mindre
Hvis X er et mellemrum og A er en delmængde af X , så er A magert i X (eller af første kategori i X ), hvis det er den tællelige forening af ingen steder tætte sæt. Hvis A ikke er mager i X , A er af anden kategori i X .
Metacompact
Et mellemrum er metakompakt, hvis hvert åbent dæksel har et punkt, en endelig åben forfining.
Metrisk
Se Metrisk mellemrum .
Metrisk invariant
En metrisk invariant er en egenskab, der bevares under isometrisk isomorfisme.
Metrisk kort
Hvis X og Y er metriske mellemrum med henholdsvis metriske d X og d Y , så er et metrisk kort en funktion f fra X til Y , således at for alle punkter x og y i X , d Y ( f ( x ), f ( y )) ≤ d X ( x , y ). Et metrisk kort er strengt metric hvis ovenstående ulighed er strenge for alle x og y i X .
Metrisk rum
Et metrisk mellemrum ( M , d ) er et sæt M udstyret med en funktion d  :  M  ×  M  →  R, der opfylder følgende aksiomer for alle x , y og z i M :
  1. d ( x , y ) ≥ 0
  2. d ( x , x ) = 0
  3. hvis   d ( x , y ) = 0 så   x = y     ( identitet på umærkelige ting )
  4. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( symmetri )
  5. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( trekant ulighed )
Funktionen d er en metrik på M , og d ( x , y ) er afstanden mellem x og y . Samlingen af ​​alle åbne kugler af M er en base for en topologi på M ; dette er topologien om M induceret af d . Hvert metrisk rum er Hausdorff og parakompakt (og dermed normalt og Tychonoff). Hvert metrisk rum kan tælles først.
Metrerbar / metrisabel
Et rum kan måles, hvis det er homeomorft i forhold til et metrisk rum. Hvert målbart rum er Hausdorff og parakompakt (og dermed normalt og Tychonoff). Hvert målbart rum kan tælles først.
Monolit
Hvert ikke-tomt ultra-tilsluttet kompakt rum X har en største ordentlig åben delmængde; denne delmængde kaldes en monolit .
Moore plads
Et Moore -rum er et almindeligt Hausdorff -rum, der kan udvikles .

N

Næsten åben
se på forhånd .
Nabolag / Nabolag
Et kvarter ved et punkt x er et sæt, der indeholder et åbent sæt, som igen indeholder punktet x . Mere generelt, et kvarter af et sæt S er et sæt indeholdende en åben sæt, som igen indeholder sættet S . Et kvarter med et punkt x er således et kvarter i singletonsættet { x }. (Bemærk, at under denne definition behøver selve kvarteret ikke at være åbent. Mange forfattere kræver, at kvarterer er åbne; pas på at notere konventioner.)
Kvarterbase /basis
Se Lokal base .
Nabolagssystem til et punkt x
Et kvartersystem på et punkt x i et rum er samlingen af ​​alle kvarterer af x .
Net
Et net i et rum X er et kort fra en rettet sæt A til X . Et net fra A til X er normalt betegnet ( x α ), hvor α er et indeks variabel i området på A . Hver sekvens er et net, der tager A til at være det rettede sæt af naturlige tal med den sædvanlige rækkefølge.
Normal
Et mellemrum er normalt, hvis to usammenhængende lukkede sæt har uensartede kvarterer. Hvert normalt rum indrømmer en opdeling af enhed.
Normal Hausdorff
Et normalt Hausdorff -rum (eller T 4 -mellemrum ) er et normalt T 1 -mellemrum. (Et normalt rum er Hausdorff, hvis og kun hvis det er T 1 , så terminologien er konsekvent.) Hvert normalt Hausdorff -rum er Tychonoff.
Ingen steder tæt
Et ingen steder tæt sæt er et sæt, hvis lukning har et tomt interiør.

O

Åbn dæksel
Et åbent dæksel er et dæksel bestående af åbne sæt.
Åben bold
Hvis ( M , d ) er et metrisk mellemrum, er en åben kugle et sæt af formen B ( x ; r ): = { y i M  : d ( x , y ) < r }, hvor x er i M og r er et positivt reelt tal , radius af bolden. En åben kugle med radius r er en åben r -bold . Hver åben bold er et åbent sæt i topologien på M induceret af d .
Åben stand
Se åben ejendom .
Åbent sæt
Et åbent sæt er medlem af topologien.
Åben funktion
En funktion fra et rum til et andet er åben, hvis billedet af hvert åbent sæt er åbent.
Åben ejendom
En egenskab af punkter i et topologisk rum siges at være "åbent", hvis de punkter, der besidder det, danner et åbent sæt . Sådanne forhold har ofte en fælles form, og den form kan siges at være en åben tilstand ; for eksempel i metriske rum definerer man en åben bold som ovenfor, og siger, at "streng ulighed er en åben betingelse".

P

Parakompakt
Et rum er parakompakt, hvis hvert åbent dæksel har en lokalt begrænset åben forfining. Paracompact indebærer metacompact. Paracompact Hausdorff -rum er normale.
Enhedens opdeling
En opdeling af et rum X er et sæt af kontinuerlige funktioner fra X til [0, 1] sådan, at ethvert punkt har et kvarter, hvor alle på nær et begrænset antal af funktionerne er identisk nul, og summen af ​​alle funktionerne på hele rummet er identisk 1.
Sti
En sti i et rum X er en kontinuerlig kort f fra den lukkede enhed intervallet [0, 1] i X . Punktet f (0) er startpunktet for f ; punktet f (1) er slutpunktet for f .
Sti-forbundet
Et mellemrum X er stiforbundet, hvis der for hver to punkter x , y i X er en sti f fra x til y , dvs. en sti med startpunkt f (0) = x og terminalpunkt f (1) = y . Hvert stiforbundet rum er forbundet.
Sti-forbundet komponent
En stiforbundet komponent i et rum er et maksimalt ikke-frit sti-forbundet underrum. Sættet af sti-forbundne komponenter i et rum er en partition af dette rum, som er finere end partitionen i tilsluttede komponenter. Sættet af sti-tilsluttede komponenter i et mellemrum X er betegnet π 0 ( X ) .
Helt normalt
et normalt rum, som også er en G δ .
π-base
En samling B af nonempty åbne mængder er en π-base for en topologi τ hvis hver nonempty åben sæt i τ omfatter et sæt fra B .
Punkt
Et punkt er et element i et topologisk rum. Mere generelt er et punkt et element i ethvert sæt med en underliggende topologisk struktur; f.eks. er et element i et metrisk rum eller en topologisk gruppe også et "punkt".
Lukningspunkt
Se Lukning .
Polere
Et mellemrum er polsk, hvis det kan adskilles og fuldstændigt måles, dvs. hvis det er homeomorft til et adskilt og fuldstændigt metrisk rum.
Polyadisk
Et rum er polyadisk, hvis det er det kontinuerlige billede af kraften i en et-punkts komprimering af et lokalt kompakt, ikke-kompakt Hausdorff-rum.
P-punkt
Et punkt i et topologisk rum er et P-punkt, hvis dets filter af kvarterer lukkes under tællbare kryds.
Pre-kompakt
Se Relativt kompakt .
Foråbnet sæt
En delmængde A af et topologisk rum X åbnes på forhånd, hvis .
Prodiskret topologi
Den prodiscrete topologi på et produkt A G er produkttopologien, når hver faktor A får den diskrete topologi.
Produkttopologi
Hvis er en samling af mellemrum og X er det (sæt-teoretiske) kartesiske produkt af så er produkttopologien på X den groveste topologi, som alle projektionskortene er kontinuerlige for.
Korrekt funktion/kortlægning
En kontinuert funktion f fra et rum X til et rum Y er korrekt, hvis er et kompakt sæt i X for enhver kompakt underrum C af Y .
Nærhedsrum
Et nærhedsrum ( X ,  d ) er et sæt X udstyret med et binært forhold d mellem undersæt af X, der opfylder følgende egenskaber:
For alle undergrupper A , B og C i X ,
  1. A d B indebærer B d A
  2. A d B indebærer, at A ikke er tom
  3. Hvis A og B har et tomt kryds, så A d B
  4. A d ( B  C ) hvis og kun hvis ( A d B eller A d C ) 
  5. Hvis vi for alle undersæt E af X har ( A d E eller B d E ), så skal vi have A d ( X - B )
Pseudokompakt
Et rum er pseudokompakt, hvis enhver reelt værdsat kontinuerlig funktion på rummet er afgrænset.
Pseudometrisk
Se pseudometrisk rum .
Pseudometrisk rum
Et pseudometrisk rum ( M , d ) er et sæt M udstyret med en reelt værdsat funktion, der opfylder alle betingelser i et metrisk rum, undtagen muligvis identiteten af ​​umærkelige. Det vil sige, at punkter i et pseudometrisk rum kan være "uendeligt tæt" uden at være identiske. Funktionen d er en pseudometric på M . Hver måling er en pseudometrisk.
Punkteret kvarter / Punkteret kvarter
Et punkteret kvarter med et punkt x er et nabolag på x , minus { x }. For eksempel er intervallet (-1, 1) = { y  : −1 < y <1} et kvarter på x = 0 i den reelle linje , så sættet er et punkteret kvarter på 0.

Q

Quasicompact
Se kompakt . Nogle forfattere definerer "kompakt" til at omfatte Hausdorff -adskillelsesaksiomet, og de bruger udtrykket quasicompact til at betyde det, vi kalder i denne ordliste blot "kompakt" (uden Hausdorff -aksiomet). Denne konvention findes oftest på fransk, og grene af matematik stærkt påvirket af franskmændene.
Kvotientkort
Hvis X og Y er mellemrum, og hvis f er en surjection fra X til Y , så f er en kvotient kort (eller identifikation kort ), hvis for hver delmængde U af Y , U er åben i Y hvis og kun hvis f - 1 ( U ) er åben i X . Med andre ord har Y den f -stærke topologi. Tilsvarende er et kvotientkort, hvis og kun hvis det er den transfinite sammensætning af kort , hvor er en delmængde. Bemærk, at dette ikke betyder, at f er en åben funktion. 
Kvoteplads
Hvis X er et mellemrum, er Y et sæt, og f  :  X  →  Y er en hvilken som helst subjektiv funktion, så er kvotientopologien på Y induceret af f den fineste topologi, for hvilken f er kontinuerlig. Rummet X er et kvotrum eller et identifikationsrum . Per definition er f et kvotientkort. Det mest almindelige eksempel på dette er at overveje et ækvivalensforhold på X , med Y sættet af ækvivalensklasser og f det naturlige projektionskort. Denne konstruktion er dobbelt i forhold til konstruktionen af ​​subrumstopologien.

R

Forfining
Et dæksel K er en videreudvikling af et dæksel L , hvis hvert medlem af K er en delmængde af nogle medlem af L .
Fast
Et rum er regelmæssig hvis, når C er en lukket sæt og x er et punkt, der ikke i C , så C og x har disjunkte kvarterer.
Almindelig Hausdorff
Et mellemrum er almindeligt Hausdorff (eller T 3 ), hvis det er et almindeligt T 0 -mellemrum. (Et almindeligt rum er Hausdorff, hvis og kun hvis det er T 0 , så terminologien er konsekvent.)
Regelmæssig åben
Et delmængde af et rum X er regelmæssigt åbent, hvis det er lig med det indre af dets lukning; dobbelt er et almindeligt lukket sæt lig med lukningen af ​​dets indre. Et eksempel på en ikke-regelmæssig sæt er mængden U = (0,1) ∪ (1,2) i R med sin normale topologi, eftersom 1 er i det indre af lukningen af U , men ikke i U . De almindelige åbne delmængder af et rum danner en komplet boolsk algebra .
Relativt kompakt
Et undersæt Y af et mellemrum X er relativt kompakt i X, hvis lukningen af Y i X er kompakt.
Rester
Hvis X er et rum og A er en delmængde af X , så A er resterende i X hvis komplementet af A er mager i X . Også kaldet comeagre eller comeager .
Kan løses
Et topologisk rum kaldes opløseligt, hvis det kan udtrykkes som foreningen af ​​to uensartede tætte undergrupper .
Fælge-kompakt
Et rum er kantkompakt, hvis det har en bund af åbne sæt, hvis grænser er kompakte.

S

S-mellemrum
Et S-rum er et arveligt adskilleligt rum, som ikke er arveligt Lindelöf .
Spredt
Et rum X er spredt , hvis hver nonempty delmængde A af X indeholder et punkt isoleret i A .
Scott
Den Scott topologi på en poset , er, at de åbne sæt, hvor er de øvre sæt utilgængelige ved rettet slutter.
Anden kategori
Se Meager .
Andetællbart
Et rum kan tælles andet eller helt adskilles, hvis det har en tællelig base for sin topologi. Hvert sekund, der kan tælles, kan tælles først, skilles og Lindelöf.
Semilokalt enkelt forbundet
Et mellemrum X er semilokalt simpelt forbundet, hvis der for hvert punkt x i X er et kvarter U på x, således at hver sløjfe ved x i U er homotopisk i X med den konstante sløjfe x . Hvert enkelt tilsluttet rum og hvert lokalt enkelt forbundet rum er semilokalt enkelt forbundet. (Sammenlign med lokalt simpelthen tilsluttet; her får homotopien lov til at leve i X , mens homotopien i definitionen af ​​lokalt simpelthen forbundet skal leve i U. )
Halvåbent
En delmængde A af et topologisk rum X kaldes semi-open if .
Halvåbnet
En delmængde A af et topologisk rum X kaldes semi-åbent hvis
Semiregulær
Et mellemrum er halvregulært, hvis de almindelige åbne sæt danner en base.
Adskilt
Et mellemrum kan adskilles, hvis det har en tællelig tæt delmængde.
Adskilt
To sæt A og B er adskilt hvis hver er disjunkte fra den anden lukning.
Sekventielt kompakt
Et mellemrum er sekventielt kompakt, hvis hver sekvens har en konvergent undersekvens. Hvert sekventielt kompakt rum er tællende, og hvert først tællende, taleligt kompakt rum er sekventielt kompakt.
Kort kort
Se metrisk kort
Simpelthen forbundet
Et rum er simpelthen forbundet, hvis det er stiforbundet, og hver sløjfe er homotopisk til et konstant kort.
Mindre topologi
Se Grovere topologi .
Ædru
I et ædru rum er hver irreducerbar lukket delmængde lukningen af præcis et punkt: det vil sige har et unikt generisk punkt .
Stjerne
Stjernen i et punkt i et givet omslag af et topologisk rum er foreningen af ​​alle de sæt i dækslet, der indeholder punktet. Se stjerneforbedring .
-Stærk topologi
Lad være et kort over topologiske rum. Vi siger, at den har den stærke topologi, hvis man for hver delmængde har den åben i, hvis og kun hvis den er åben i
Stærkere topologi
Se Finere topologi . Pas på, nogle forfattere, især analytikere , bruger udtrykket svagere topologi .
Underbase
En samling af åbne sæt er en subbase (eller subbase ) for en topologi, hvis hvert ikke-tomt korrekt åbent sæt i topologien er en forening af begrænsede skæringspunkter mellem sæt i subbasen. Hvis B er en samling af undersæt af et sæt X , er topologien på X genereret af B den mindste topologi, der indeholder B ; denne topologi består af den tomme mængde, X og alle fagforeninger finite krydsene med elementer af B .
Subbase
Se underbase .
Undercover
Et dæksel K er en subcover (eller subcovering ) af et dæksel L , hvis hvert medlem af K er medlem af L .
Underdækning
Se Undercover .
Submaksimal plads
Et topologisk rum siges at være submaximalt, hvis hvert delsæt af det er lokalt lukket, det vil sige, at hvert delsæt er skæringspunktet mellem et åbent sæt og et lukket sæt .

Her er nogle fakta om submaksimalitet som en egenskab ved topologiske rum:

  • Hver dør rum er submaksimal.
  • Hvert submaximalt rum er svagt submaximalt, dvs. hvert endelige sæt er lokalt lukket.
  • Hvert submaksimalt rum er uløseligt
Underrum
Hvis T er en topologi på en plads X , og hvis A er en delmængde af X , så sportopologi på A induceret af T består af alle krydsene med åbne mængder i T med A . Denne konstruktion er dobbelt i forhold til konstruktionen af ​​kvotientopologien.

T

T 0
Et mellemrum er T 0 (eller Kolmogorov ), hvis der for hvert par forskellige punkter x og y i mellemrummet enten er et åbent sæt, der indeholder x, men ikke y , eller der er et åbent sæt, der indeholder y, men ikke x .
T 1
Et mellemrum er T 1 (eller Fréchet eller tilgængeligt ), hvis der for hvert par forskellige punkter x og y i rummet er et åbent sæt, der indeholder x, men ikke y . (Sammenlign med T 0 ; her har vi lov til at angive, hvilket punkt der skal være indeholdt i det åbne sæt.) Tilsvarende er et mellemrum T 1, hvis alle dets singletoner er lukket. Hvert T 1 -mellemrum er T 0 .
T 2
Se Hausdorff -rummet .
T 3
Se Regular Hausdorff .
T 3½
Se Tychonoff -rummet .
T 4
Se Normal Hausdorff .
T 5
Se Helt normalt Hausdorff .
Top
Se kategori af topologiske rum .
θ-klynge punkt, θ-lukket, θ-åben
Et punkt x af et topologisk rum X er en θ-klynge punkt af en delmængde A , hvis for hver åben kvarter U af x i X . Delsættet A er θ-lukket, hvis det er lig med sættet af dets θ-klynge-punkter, og θ-åbent, hvis dets komplement er θ-lukket.
Topologisk invariant
En topologisk invariant er en ejendom, der bevares under homeomorfisme. For eksempel er kompakthed og sammenhæng topologiske egenskaber, hvorimod afgrænsning og fuldstændighed ikke er det. Algebraisk topologi er studiet af topologisk invariante abstrakte algebra -konstruktioner på topologiske rum.
Topologisk rum
Et topologisk rum ( X , T ) er et sæt X udstyret med en samling T af undersæt af X, der opfylder følgende aksiomer :
  1. Den tomme sæt og X er i T .
  2. Foreningen af enhver samling af sæt i T er også i T .
  3. Skæringspunktet mellem ethvert par af sæt i T er også i T .
Samlingen T er en topologi på X .
Topologisk sum
Se koprodukt topologi .
Topologisk fuldendt
Helt målerbare rum (dvs. topologiske rum, der er homomorfe til fuldstændige metriske rum) kaldes ofte topologisk fuldstændige ; nogle gange bruges udtrykket også til Čech-komplette rum eller fuldstændigt uniformerbare rum .
Topologi
Se topologisk rum .
Helt afgrænset
Et metrisk rum M er totalt afgrænset, hvis der for hver r > 0 eksisterer et begrænset dække af M med åbne kugler med radius r . Et metrisk rum er kompakt, hvis og kun hvis det er komplet og totalt afgrænset.
Helt afbrudt
Et mellemrum frakobles totalt, hvis det ikke har nogen tilsluttet delmængde med mere end et punkt.
Trivial topologi
Den trivielle topologi (eller ufint topologi ) på et sæt X består af netop den tomme mængde og hele rummet X .
Tychonoff
Et Tychonoff -rum (eller helt almindeligt Hausdorff -rum , helt T 3 -mellemrum, T 3,5 -mellemrum) er et helt almindeligt T 0 -mellemrum. (Et helt almindeligt rum er Hausdorff, hvis og kun hvis det er T 0 , så terminologien er konsekvent.) Hvert Tychonoff -rum er almindeligt Hausdorff.

U

Ultra-tilsluttet
Et mellemrum er ultra-forbundet, hvis ikke to ikke-tomme lukkede sæt er adskilte. Hvert ultra-tilsluttet rum er sti-forbundet.
Ultrametrisk
En metrisk er en ultrametrisk, hvis den opfylder følgende stærkere version af trekantens ulighed : for alle x , y , z i M , d ( x , z ) ≤ max ( d ( x , y ), d ( y , z )) .
Ensartet isomorfisme
Hvis X og Y er ensartede mellemrum , er en ensartet isomorfisme fra X til Y en bijektiv funktion f  : X → Y således, at f og f −1 er ensartet kontinuerlige . Rummene siges derefter at være ensartet isomorfe og dele de samme ensartede egenskaber .
Uniformiserbar /ensartet
Et rum er uniformerbart, hvis det er homomorft til et ensartet rum.
Ensartet plads
Et ensartet rum er et sæt X udstyret med en ikke -fritaget samling Φ af undergrupper af det kartesiske produkt X × X, der opfylder følgende aksiomer :
  1. hvis U er i Φ, så indeholder U {( x , x ) | x i X }.
  2. hvis U er i Φ, så {( y , x ) | ( x , y ) i U } er også i Φ
  3. hvis U er i Φ, og V er et delsæt af X × X, som indeholder U , så er V i Φ
  4. hvis U og V er i Φ, så er U ∩ V i Φ
  5. hvis U er i Φ, så der findes V i Φ sådan, at når ( x , y ) og ( y , z ) er i V , så er ( x , z ) er i U .
Elementerne i Φ kaldes entourages , og Φ selv kaldes en ensartet struktur på X . Den ensartede struktur inducerer en topologi på X, hvor de grundlæggende kvarterer for x er sæt af formen { y  : ( x , y ) ∈ U } for U ∈Φ.
Ensartet struktur
Se Ensartet plads .

W

Svag topologi
Den svage topologi på et sæt, med hensyn til en samling af funktioner fra det sæt til topologiske rum, er den groveste topologi på sættet, der gør alle funktionerne kontinuerlige.
Svagere topologi
Se Grovere topologi . Pas på, nogle forfattere, især analytikere , bruger udtrykket stærkere topologi .
Svagt talt kompakt
Et mellemrum er svagt tællelig kompakt (eller grænsepunktskompakt ), hvis hver uendelig delmængde har et grænsepunkt.
Svagt arvelig
En egenskab af mellemrum siges at være svagt arvelig, hvis når et rum har den egenskab, så gør hvert lukket underrum af det. For eksempel er kompakthed og Lindelöf -ejendommen begge svagt arvelige egenskaber, selvom ingen af ​​dem er arvelige.
Vægt
Den vægt af et rum X er den mindste kardinaltallet κ således at X har en base af kardinal κ. (Bemærk, at et sådant kardinalnummer findes, fordi hele topologien danner en base, og fordi klassen af ​​kardinalnumre er velordnet .)
Godt forbundet
Se Ultra-tilsluttet . (Nogle forfattere bruger dette udtryk strengt til ultraforbundne kompakte rum.)

Z

Nul-dimensionel
Et rum er nul-dimensionelt, hvis det har en base af lukkede sæt.

Se også

Topologispecifikke begreber
Andre ordlister

Referencer

eksterne links