Problem med Apollonius - Problem of Apollonius

Figur 1: En løsning (i lilla) til Apollonius 'problem. De givne cirkler er vist i sort.

Figur 2: Fire komplementære par af løsninger på Apollonius 'problem; de givne cirkler er sorte.

I den euklidiske plangeometri er Apollonius 'problem at konstruere cirkler, der tangerer tre givne cirkler i et plan (figur 1). Apollonius af Perga (ca. 262 f.Kr. - ca. 190 f.Kr.) stillede og løste dette berømte problem i sit arbejde Ἐπαφαί ( Epaphaí , "Tangencies"); dette arbejde er gået tabt , men en rapport fra det 4. århundrede e.Kr. om hans resultater af Pappus fra Alexandria har overlevet. Tre givne cirkler har generelt otte forskellige cirkler, der tangerer dem (figur 2), et par løsninger for hver måde at opdele de tre givne cirkler i to undergrupper (der er 4 måder at opdele et sæt kardinalitet 3 i 2 dele) .

I det 16. århundrede løste Adriaan van Roomen problemet ved hjælp af krydsende hyperboler , men denne løsning bruger ikke kun strækning og kompasskonstruktioner . François Viète fandt en sådan løsning ved at udnytte begrænsende sager : enhver af de tre givne cirkler kan krympes til nulradius (et punkt) eller udvides til uendelig radius (en linje). Viètes tilgang, der bruger enklere begrænsende sager til at løse mere komplicerede, betragtes som en sandsynlig rekonstruktion af Apollonius 'metode. Van Roomens metode blev forenklet af Isaac Newton , der viste, at Apollonius 'problem svarer til at finde en position fra forskellene i dens afstande til tre kendte punkter. Dette har applikationer i navigations- og positioneringssystemer såsom LORAN .

Senere introducerede matematikere algebraiske metoder, som omdanner et geometrisk problem til algebraiske ligninger . Disse metoder blev forenklet ved at udnytte symmetrier, der er forbundet med problemet med Apollonius: for eksempel forekommer løsningscirkler parvis, hvor den ene løsning omslutter de givne cirkler, som den anden udelukker (figur 2). Joseph Diaz Gergonne brugte denne symmetri til at levere en elegant straightedge- og kompassløsning, mens andre matematikere brugte geometriske transformationer som refleksion i en cirkel for at forenkle konfigurationen af de givne cirkler. Disse udviklinger giver en geometrisk ramme for algebraiske metoder (ved hjælp af Lie sphere geometry ) og en klassificering af løsninger i henhold til 33 i det væsentlige forskellige konfigurationer af de givne cirkler.

Apollonius 'problem har stimuleret meget videre arbejde. Generaliseringer til tre dimensioner - konstruktion af en kugle, der tangerer fire givne sfærer - og videre er blevet undersøgt. Konfigurationen af tre indbyrdes tangente cirkler har fået særlig opmærksomhed. René Descartes gav en formel vedrørende radiuserne af opløsningscirklerne og de givne cirkler, nu kendt som Descartes 'sætning . At løse Apollonius 'problem iterativt i dette tilfælde fører til den apollonske pakning , som er en af de tidligste fraktaler, der skal beskrives på tryk, og er vigtig i talteori via Ford -cirkler og Hardy -Littlewood -cirkelmetoden .

Erklæring om problemet

Den generelle erklæring om Apollonius 'problem er at konstruere en eller flere cirkler, der tangerer tre givne objekter i et plan, hvor et objekt kan være en linje, et punkt eller en cirkel af enhver størrelse. Disse genstande kan arrangeres på enhver måde og kan krydse hinanden; de anses dog normalt for at være forskellige, hvilket betyder, at de ikke falder sammen. Løsninger på Apollonius 'problem kaldes undertiden Apollonius -cirkler , selvom udtrykket også bruges til andre typer cirkler, der er forbundet med Apollonius.

Tangens egenskab defineres som følger. Først antages et punkt, en linje eller en cirkel at være tangent for sig selv; Derfor, hvis en given cirkel allerede er tangent til de to andre givne objekter, regnes den som en løsning på Apollonius 'problem. To forskellige geometriske objekter siges at krydse hinanden, hvis de har et fælles punkt. Per definition tangerer et punkt en cirkel eller en linje, hvis det skærer dem, det vil sige, hvis det ligger på dem; to forskellige punkter kan således ikke være tangente. Hvis vinklen mellem linjer eller cirkler ved et skæringspunkt er nul, siges det at være tangent ; skæringspunktet kaldes et tangentpunkt eller et tangentpunkt . (Ordet "tangent" stammer fra det latinske nuværende participium , tangens ., Hvilket betyder "rørende") I praksis to forskellige cirkler er tangent, hvis de skærer hinanden på et sted; hvis de skærer hinanden på nul eller to punkter, er de ikke tangenter. Det samme gælder for en linje og en cirkel. To forskellige linjer kan ikke være tangent i planet, selvom to parallelle linjer kan betragtes som tangenter på et punkt ved uendeligt i inversiv geometri (se nedenfor ).

Løsningscirklen kan enten være internt eller eksternt tangent til hver af de givne cirkler. En ekstern tangens er en, hvor de to cirkler bøjer væk fra hinanden ved deres kontaktpunkt; de ligger på modsatte sider af tangentlinjen på det tidspunkt, og de udelukker hinanden. Afstanden mellem deres centre er lig med summen af deres radier. Derimod er en intern tangens en, hvor de to cirkler krummer på samme måde ved deres kontaktpunkt; de to cirkler ligger på samme side af tangentlinjen, og den ene cirkel omslutter den anden. I dette tilfælde er afstanden mellem deres centre lig med forskellen på deres radier. Som en illustration, i figur 1, er den lyserøde opløsningscirkel internt tangent til den mellemstore givne sorte cirkel til højre, hvorimod den eksternt tangerer de mindste og største givne cirkler til venstre.

Apollonius 'problem kan også formuleres som problemet med at lokalisere et eller flere punkter, således at forskellene i dets afstande til tre givne punkter svarer til tre kendte værdier. Overvej en løsningscirkel med radius r _s og tre givne cirkler med radius r ₁ , r ₂ og r ₃ . Hvis løsningscirklen er eksternt tangent til alle tre givne cirkler, er afstandene mellem midten af opløsningscirklen og midten af de givne cirkler lig med d ₁ = r ₁ + r _s , d ₂ = r ₂ + r _s og d ₃ = henholdsvis r ₃ + r _s . Derfor er forskelle i disse afstande konstanter, såsom d ₁ - d ₂ = r ₁ - r ₂ ; de afhænger kun af de kendte radier for de givne cirkler og ikke af radius r _s af opløsningscirklen, som annulleres. Denne anden formulering af Apollonius 'problem kan generaliseres til internt tangente løsningskredse (for hvilke center-center-afstanden er lig med forskellen i radier) ved at ændre de tilsvarende forskelle i afstande til summer af afstande, så opløsningscirkelradius r _s aflyser igen. Omformuleringen med hensyn til center-center-afstande er nyttig i nedenstående løsninger af Adriaan van Roomen og Isaac Newton og også i hyperbolsk positionering eller trilateration, som er opgaven med at lokalisere en position fra forskelle i afstande til tre kendte punkter. For eksempel identificerer navigationssystemer som LORAN en modtagers position ud fra forskellene i ankomsttider for signaler fra tre faste positioner, som svarer til forskellene i afstande til disse sendere.

Historie

Et rigt repertoire af geometriske og algebraiske metoder er blevet udviklet til at løse Apollonius 'problem, som er blevet kaldt "den mest berømte af alle" geometriproblemer. Den oprindelige tilgang til Apollonius af Perga er gået tabt, men rekonstruktioner er blevet tilbudt af François Viète og andre, baseret på sporene i beskrivelsen af Pappus fra Alexandria . Den første nye løsningsmetode blev udgivet i 1596 af Adriaan van Roomen , der identificerede løsningscirklernes centre som skæringspunkter mellem to hyperboler . Van Roomens metode blev forfinet i 1687 af Isaac Newton i hans Principia og af John Casey i 1881.

Selvom det lykkes at løse Apollonius 'problem, har van Roomens metode en ulempe. En værdsat egenskab i klassisk euklidisk geometri er evnen til at løse problemer ved hjælp af kun et kompas og en straightedge . Mange konstruktioner er umulige kun ved hjælp af disse værktøjer, såsom at dele en vinkel i tre lige store dele . Imidlertid kan mange sådanne "umulige" problemer løses ved at krydse kurver som hyperboler, ellipser og paraboler ( keglesnit ). For eksempel kan en fordobling af terningen (problemet med at konstruere en terning med det dobbelte af volumenet af en given terning) ikke kun udføres ved hjælp af en straighted og kompas, men Menaechmus viste, at problemet kan løses ved at bruge skæringspunkterne mellem to paraboler . Derfor afgjorde van Roomens løsning-der anvender skæringspunktet mellem to hyperboler-ikke, om problemet opfyldte opretnings-og-kompas-ejendommen.

Van Roomens ven François Viète , der i første omgang havde opfordret van Roomen til at arbejde med Apollonius 'problem, udviklede en metode, der kun brugte kompas og straightedge. Forud for Viètes løsning tvivlede Regiomontanus på, om Apollonius 'problem kunne løses ved straightedge og kompas. Viète løste først nogle enkle særlige tilfælde af Apollonius 'problem, såsom at finde en cirkel, der passerer gennem tre givne punkter, som kun har en løsning, hvis punkterne er adskilte; han byggede derefter op til at løse mere komplicerede specialsager, i nogle tilfælde ved at krympe eller hæve de givne cirkler. Ifølge rapporten fra Pappus fra det 4. århundrede fulgte Apollonius 'egen bog om dette problem-med titlen Ἐπαφαί ( Epaphaí , "Tangencies"; latin: De tactionibus , De contactibus )-en lignende progressiv tilgang. Derfor betragtes Viètes løsning som en sandsynlig rekonstruktion af Apollonius 'løsning, selvom andre rekonstruktioner er blevet offentliggjort uafhængigt af tre forskellige forfattere.

Flere andre geometriske løsninger på Apollonius 'problem blev udviklet i det 19. århundrede. De mest bemærkelsesværdige løsninger er de af Jean-Victor Poncelet (1811) og Joseph Diaz Gergonne (1814). Mens Poncelets bevis er baseret på homotetiske centre i cirkler og kraften i en punktsætning, udnytter Gergonnes metode det konjugerede forhold mellem linjer og deres poler i en cirkel. Metoder til brug af cirkelinversion blev banebrydende af Julius Petersen i 1879; et eksempel er den ringformede opløsningsmetode for HSM Coxeter . En anden tilgang bruger Lie sfære geometri , som blev udviklet af Sophus Lie .

Algebraiske løsninger på Apollonius 'problem blev banebrydende i det 17. århundrede af René Descartes og prinsesse Elisabeth af Bøhmen , selvom deres løsninger var temmelig komplekse. Praktiske algebraiske metoder blev udviklet i slutningen af 1700- og 1800 -tallet af flere matematikere, herunder Leonhard Euler , Nicolas Fuss , Carl Friedrich Gauss , Lazare Carnot og Augustin Louis Cauchy .

Løsningsmetoder

Krydsende hyperboler

Figur 3: To givne cirkler (sort) og en cirkel, der tangerer begge (lyserød). Midt-til-center afstandene d ₁ og d _{2 er} lig med henholdsvis r ₁ + r _s og r ₂ + r _s , så deres forskel er uafhængig af r _s .

Løsningen af Adriaan van Roomen (1596) er baseret på skæringspunktet mellem to hyperboler . Lad de givne cirkler betegnes som C ₁ , C ₂ og C ₃ . Van Roomen løste det generelle problem ved at løse et enklere problem, nemlig at finde de cirkler, der tangerer to givne cirkler, såsom C ₁ og C ₂ . Han bemærkede, at midten af en cirkel, der tangerer begge givne cirkler, skal ligge på en hyperbola, hvis fokus er centrum for de givne cirkler. For at forstå dette, lad radiuserne af opløsningscirklen og de to givne cirkler betegnes som henholdsvis r _s , r ₁ og r ₂ (figur 3). Afstanden d ₁ mellem centrene af opløsningen cirkel og C ₁ er enten r _s + r ₁ eller r _s - r ₁ , alt efter om disse cirkler er valgt til at være eksternt eller internt tangent hhv. Tilsvarende er afstanden d ₂ mellem centrene af opløsningen cirkel og C ₂ er enten r _s + r ₂ eller r _s - r ₂ , igen afhængigt af deres valgte tangentpunktet. Således er forskellen d ₁ - d ₂ mellem disse afstande altid en konstant, der er uafhængig af r _s . Denne egenskab, at have en fast forskel mellem afstandene til foci , kendetegner hyperboler, så løsningscirkelens mulige centre ligger på en hyperbola. En anden hyperbola kan tegnes for paret af givne cirkler C ₂ og C ₃ , hvor den interne eller eksterne tangens af opløsningen og C ₂ skal vælges konsekvent med den for den første hyperbola. Et skæringspunkt mellem disse to hyperboler (hvis nogen) giver midten af en løsningscirkel, der har de valgte interne og eksterne tangencies til de tre givne cirkler. Det fulde sæt af løsninger på Apollonius 'problem kan findes ved at overveje alle mulige kombinationer af intern og ekstern tangens af løsningskredsen til de tre givne cirkler.

Isaac Newton (1687) forfinede van Roomens løsning, så løsningscirkelcentrene var placeret i krydsfeltene mellem en linje med en cirkel. Newton formulerer Apollonius 'problem som et problem i trilateration : at lokalisere et punkt Z fra tre givne punkter A , B og C , således at forskellene i afstande fra Z til de tre givne punkter har kendte værdier. Disse fire punkter svarer til midten af opløsningscirklen ( Z ) og midten af de tre givne cirkler ( A , B og C ).

Sættet med punkter med et konstant forhold mellem afstande d ₁ / d ₂ og to faste punkter er en cirkel.

I stedet for at løse for de to hyperboler, konstruerer Newton deres directrix -linjer i stedet. For enhver hyperbola er forholdet mellem afstande fra et punkt Z til et fokus A og til Directrix en fast konstant kaldet excentriciteten . De to retninger krydser hinanden ved et punkt T , og ud fra deres to kendte afstandsforhold konstruerer Newton en linje, der passerer gennem T, hvor Z skal ligge. Forholdet mellem afstande TZ/TA er imidlertid også kendt; derfor ligger Z også på en kendt cirkel, da Apollonius havde vist, at en cirkel kan defineres som et sæt punkter, der har et givet forhold mellem afstande og to faste punkter. (Som en side er denne definition grundlaget for bipolare koordinater .) Således er løsningerne på Apollonius 'problem skæringspunkterne mellem en linje med en cirkel.

Viètes genopbygning

Som beskrevet nedenfor har Apollonius 'problem ti særlige tilfælde, afhængigt af arten af de tre givne objekter, som kan være en cirkel ( C ), linje ( L ) eller punkt ( P ). Ved skik kendetegnes disse ti sager ved tre bogstavkoder såsom CCP . Viète løste alle ti af disse sager kun ved hjælp af kompas- og opretningskonstruktioner og brugte løsningerne af enklere sager til at løse de mere komplekse sager.

Figur 4: Tangens mellem cirkler bevares, hvis deres radier ændres med lige store mængder. En lyserød opløsningscirkel skal krympe eller svulme op med en indre tangentcirkel (sort cirkel til højre), mens eksternt tangentcirkler (to sorte cirkler til venstre) gør det modsatte.

Viète begyndte med at løse PPP -sagen (tre point) efter Euklides metode i hans elementer . Fra dette udledte han et lemma, der svarede til kraften i en punktsætning, som han brugte til at løse LPP -sagen (en linje og to punkter). Efter Euclid en anden gang løste Viète LLL -sagen (tre linjer) ved hjælp af vinkelhalveringslinjerne . Han udledte derefter et lemma for at konstruere linjen vinkelret på en vinkelhalveringslinje, der passerer gennem et punkt, som han brugte til at løse LLP -problemet (to linjer og et punkt). Dette tegner sig for de første fire tilfælde af Apollonius 'problem, dem der ikke involverer cirkler.

For at løse de resterende problemer udnyttede Viète det faktum, at de givne cirkler og løsningscirklen kan ændres i størrelse samtidig med, at deres tangencies bevares (figur 4). Hvis opløsningen-cirkel radius ændres med en mængde Δ r , skal radius af sine internt tangenten givne cirkler ligeledes ændres ved Δ r , mens radius af dens eksternt tangenten givne cirkler skal ændres ved -Δ r . Når løsningscirklen svulmer op, skal de internt tangente givne cirkler således svulme i tandem, hvorimod de eksternt tangente givne cirkler skal krympe for at opretholde deres tangenser.

Viète brugte denne tilgang til at krympe en af de givne cirkler til et punkt og dermed reducere problemet til en enklere, allerede løst sag. Han løste først CLL -sagen (en cirkel og to linjer) ved at krympe cirklen til et punkt, hvilket gjorde den til en LLP -sag . Derefter løste han CLP -sagen (en cirkel, en linje og et punkt) ved hjælp af tre lemmaer. Igen skrumpede en cirkel til et punkt, forvandlede Viète CCL -sagen til en CLP -sag. Derefter løste han CPP -sagen (en cirkel og to punkter) og CCP -sagen (to cirkler og et punkt), sidstnævnte ved to lemmaer. Endelig løste Viète den generelle CCC -sag (tre cirkler) ved at krympe en cirkel til et punkt, hvilket gjorde den til en CCP -sag.

Algebraiske løsninger

Apollonius 'problem kan indrammes som et system med tre ligninger for løsningskretsens centrum og radius. Da de tre givne cirkler og enhver løsningscirkel skal ligge i det samme plan, kan deres positioner specificeres i form af ( x , y ) koordinater for deres centre. F.eks. Kan midterpositionerne for de tre givne cirkler skrives som ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ) og ( x ₃ , y ₃ ), hvorimod positionen i en løsningscirkel kan skrives som ( x _s , y _s ). På samme måde kan radierne for de givne cirkler og en løsningscirkel skrives som henholdsvis r ₁ , r ₂ , r ₃ og r _s . Kravet om, at en løsningscirkel nøjagtigt skal røre hver af de tre givne cirkler, kan udtrykkes som tre koblede kvadratiske ligninger for x _s , y _s og r _s :

{\ displaystyle \ left (x_ {s} -x_ {1} \ right)^{2}+\ left (y_ {s} -y_ {1} \ right)^{2} = \ left (r_ {s} -s_ {1} r_ {1} \ højre)^{2}}

{\ displaystyle \ left (x_ {s} -x_ {2} \ right)^{2}+\ left (y_ {s} -y_ {2} \ right)^{2} = \ left (r_ {s} -s_ {2} r_ {2} \ højre)^{2}}

{\ displaystyle \ left (x_ {s} -x_ {3} \ right)^{2}+\ left (y_ {s} -y_ {3} \ right)^{2} = \ left (r_ {s} -s_ {3} r_ {3} \ højre)^{2}.}

De tre tal s ₁ , s ₂ og s ₃ på højre side , kaldet tegn, kan svare til ± 1 og angive, om den ønskede løsningscirkel skal røre den tilsvarende givne cirkel internt ( s = 1) eller eksternt ( s = −1). For eksempel, i figur 1 og 4, er den lyserøde løsning internt tangent til den mellemstore givne cirkel til højre og eksternt tangent til de mindste og største givne cirkler til venstre; hvis de givne cirkler er ordnet efter radius, er tegnene for denne løsning " - + -" . Da de tre tegn kan vælges uafhængigt, er der otte mulige sæt ligninger (2 × 2 × 2 = 8) , hvert sæt svarer til en af de otte typer af løsningscirkler.

Det generelle system med tre ligninger kan løses ved hjælp af metoden med resulterende . Når de multipliceres, har alle tre ligninger x _s² + y _s² på venstre side og r _s² på højre side. Ved at trække en ligning fra en anden eliminerer disse kvadratiske termer; de resterende lineære termer kan omarrangeres for at give formler for koordinaterne x _s og y _s

{\ displaystyle x_ {s} = M+Nr_ {s}}

{\ displaystyle y_ {s} = P+Qr_ {s}}

hvor M , N , P og Q er kendte funktioner i de givne cirkler og valg af tegn. Substitution af disse formler i en af de første tre ligninger giver en kvadratisk ligning for r _s , som kan løses ved den kvadratiske formel . Substitution af den numeriske værdi af r _s i de lineære formler giver de tilsvarende værdier for x _s og y _s .

Tegnene s ₁ , s ₂ og s ₃ på højre side af ligningerne kan vælges på otte mulige måder, og hvert valg af tegn giver op til to løsninger, da ligningen for r _s er kvadratisk . Dette kan tyde (forkert) på, at der er op til seksten løsninger på Apollonius 'problem. Men på grund af en symmetri af ligningerne, hvis ( r _s , x _s , y _s ) er en løsning med tegn s _i , så er ( - r _s , x _s , y _s ) med modsatte tegn - s _i , som repræsenterer den samme løsningscirkel. Derfor har Apollonius 'problem højst otte uafhængige løsninger (figur 2). En måde at undgå denne dobbelttælling på er kun at overveje løsningskredse med ikke-negativ radius.

De to rødder i enhver kvadratisk ligning kan være af tre mulige typer: to forskellige reelle tal , to identiske reelle tal (dvs. en degenereret dobbeltrod) eller et par komplekse konjugerede rødder. Den første sag svarer til den sædvanlige situation; hvert par rødder svarer til et par løsninger, der er relateret til cirkelinversion , som beskrevet nedenfor (figur 6). I det andet tilfælde er begge rødder identiske, svarende til en løsningscirkel, der transformeres til sig selv under inversion. I dette tilfælde er en af de givne cirkler selv en løsning på Apollonius -problemet, og antallet af forskellige løsninger reduceres med en. Det tredje tilfælde af komplekse konjugerede radier svarer ikke til en geometrisk mulig løsning på Apollonius 'problem, da en løsningscirkel ikke kan have en imaginær radius; derfor reduceres antallet af løsninger med to. Apollonius 'problem kan ikke have syv løsninger, selvom det kan have et andet antal løsninger fra nul til otte.

Lie sfære geometri

De samme algebraiske ligninger kan udledes i forbindelse med Lie sfære geometri . Denne geometri repræsenterer cirkler, linjer og punkter på en samlet måde som en femdimensionel vektor X = ( v , c _x , c _y , w , sr ), hvor c = ( c _x , c _y ) er midten af cirkel, og r er dens (ikke-negative) radius. Hvis r ikke er nul, kan tegnene s være positive eller negative; til visualisering repræsenterer s cirkelens orientering , hvor cirkler mod uret har en positiv s og cirkler med uret har en negativ s . Parameteren w er nul for en lige linje og en ellers.

I denne femdimensionelle verden er der et bilinearkt produkt, der ligner prikproduktet :

{\ displaystyle \ venstre (X_ {1} \ midt X_ {2} \ højre): = v_ {1} w_ {2}+v_ {2} w_ {1}+\ mathbf {c} _ {1} \ cdot \ mathbf {c} _ {2} -s_ {1} s_ {2} r_ {1} r_ {2}.}

Den Lie Quadric defineres som de vektorer, hvis produkt med sig selv (deres square norm ) er nul, ( X | X ) = 0. Lad X ₁ og X ₂ være to vektorer tilhører denne Quadric; normen for deres forskel er lig med

{\ displaystyle \ left (X_ {1} -X_ {2} \ mid X_ {1} -X_ {2} \ right) = 2 \ left (v_ {1} -v_ {2} \ right) \ left (w_ {1} -w_ {2} \ højre)+\ venstre (\ mathbf {c} _ {1}-\ mathbf {c} _ {2} \ højre) \ cdot \ venstre (\ mathbf {c} _ {1 }-\ mathbf {c} _ {2} \ højre)-\ venstre (s_ {1} r_ {1} -s_ {2} r_ {2} \ højre)^{2}.}

Produktet fordeler sig over addition og subtraktion (mere præcist er det bilinear ):

{\ displaystyle \ left (X_ {1} -X_ {2} \ mid X_ {1} -X_ {2} \ right) = \ left (X_ {1} \ mid X_ {1} \ right) -2 \ left (X_ {1} \ midt X_ {2} \ højre)+\ venstre (X_ {2} \ midt X_ {2} \ højre).}

Da ( X ₁ | X ₁ ) = ( X ₂ | X ₂ ) = 0 (begge tilhører Lie quadric) og da w ₁ = w ₂ = 1 for cirkler, er produktet af to sådanne vektorer på de quadric lig

{\ displaystyle -2 \ venstre (X_ {1} \ midt X_ {2} \ højre) = \ venstre | \ mathbf {c} _ {1} -\ mathbf {c} _ {2} \ højre |^{2 }-\ venstre (s_ {1} r_ {1} -s_ {2} r_ {2} \ højre)^{2}.}

hvor de lodrette stænger, der sandwicher c ₁ - c ₂ repræsenterer længden af denne forskelsvektor, dvs. den euklidiske norm . Denne formel viser, at hvis to kvadratiske vektorer X ₁ og X ₂ er ortogonale (vinkelret) på hinanden - det vil sige, hvis ( X ₁ | X ₂ ) = 0 - så er deres tilsvarende cirkler tangente. For hvis de to tegn s ₁ og s ₂ er ens (dvs. cirklerne har samme "orientering"), er cirklerne internt tangente; afstanden mellem deres centre er lig med forskellen i radierne

{\ displaystyle \ left | \ mathbf {c} _ {1}-\ mathbf {c} _ {2} \ right |^{2} = \ left (r_ {1} -r_ {2} \ right)^{ 2}.}

Omvendt, hvis de to tegn s ₁ og s ₂ er forskellige (dvs. cirklerne har modsatte "orienteringer"), er cirklerne eksternt tangente; afstanden mellem deres centre er lig med summen af radierne

{\ displaystyle \ left | \ mathbf {c} _ {1}-\ mathbf {c} _ {2} \ right |^{2} = \ left (r_ {1}+r_ {2} \ right)^{ 2}.}

Derfor kan Apollonius 'problem re-angives i Lie geometri som et problem med at finde vinkelrette vektorer på Lie quadric; specifikt er målet at identificere opløsningsvektorer X _sol, der tilhører Lie quadric og også er ortogonale (vinkelret) på vektorerne X ₁ , X ₂ og X _{3, der} svarer til de givne cirkler.

{\ displaystyle \ left (X _ {\ mathrm {sol}} \ mid X _ {\ mathrm {sol}} \ right) = \ left (X _ {\ mathrm {sol}} \ mid X_ {1} \ right) = \ venstre (X _ {\ mathrm {sol}} \ midt X_ {2} \ højre) = \ venstre (X _ {\ mathrm {sol}} \ midt X_ {3} \ højre) = 0}

Fordelen ved denne re-sætning er, at man kan udnytte sætninger fra lineær algebra på det maksimale antal lineært uafhængige , samtidigt vinkelrette vektorer. Dette giver en anden måde at beregne det maksimale antal løsninger og udvide sætningen til højere dimensionelle rum.

Inversive metoder

Figur 5: Inversion i en cirkel. Punktet P 'er omvendt af punkt P med hensyn til cirklen.

En naturlig ramme for problemet med Apollonius er inversiv geometri . Den grundlæggende strategi for inversive metoder er at omdanne et givet Apollonius -problem til et andet Apollonius -problem, der er enklere at løse; løsningerne til det oprindelige problem findes fra løsningerne af det transformerede problem ved at fortryde transformationen. Kandidatomdannelser skal ændre et Apollonius -problem til et andet; derfor skal de omdanne de givne punkter, cirkler og linjer til andre punkter, cirkler og linjer, og ingen andre former. Cirkelinversion har denne egenskab og gør det muligt at vælge midten og radius af inversionskredsen med omhu. Andre kandidater omfatter de euklidiske planisometrier ; de forenkler imidlertid ikke problemet, da de blot skifter , roterer og spejler det oprindelige problem.

Inversion i en cirkel med centrum O og radius R består af følgende operation (figur 5): hvert punkt P kortlægges til et nyt punkt P ' således at O , P og P' er kollinære, og produktet af afstandene til P og P ' til centrum O svarer til radius R i kvadrat

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {OP}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {OP^{\ prime}}}}} = R^{2}.}

Så hvis P ligger uden for cirklen, så ligger P ' inden for og omvendt. Når P er det samme som O , siges det, at inversionen sender P til uendelighed. (I kompleks analyse er "uendelighed" defineret ud fra Riemann -sfæren .) Inversion har den nyttige egenskab, at linjer og cirkler altid omdannes til linjer og cirkler, og punkter altid omdannes til punkter. Cirkler omdannes generelt til andre cirkler under inversion; men hvis en cirkel passerer gennem midten af inversionscirklen, omdannes den til en lige linje og omvendt. Det er vigtigt, at hvis en cirkel krydser inversionens cirkel i rette vinkler (skærer vinkelret), efterlades den uændret af inversionen; det forvandles til sig selv.

Cirkelinversioner svarer til en delmængde af Möbius -transformationer på Riemann -sfæren . Det plane Apollonius -problem kan overføres til kuglen ved en omvendt stereografisk projektion ; derfor vedrører løsninger af det plane Apollonius -problem også dets modstykke på sfæren. Andre inversive løsninger på det plane problem er mulige udover de almindelige, der er beskrevet nedenfor.

Par af løsninger ved inversion

Figur 6: Et konjugeret par af løsninger på Apollonius 'problem (lyserøde cirkler), med givne cirkler i sort.

Løsninger på Apollonius 'problem forekommer generelt i par; for hver opløsningscirkel er der en konjugeret opløsningscirkel (figur 6). Én løsningscirkel udelukker de givne cirkler, der er omsluttet af dens konjugerede løsning, og omvendt. For eksempel i figur 6, omslutter en løsningscirkel (pink, øverst til venstre) to givne cirkler (sort), men udelukker en tredje; omvendt omslutter dens konjugerede løsning (også pink, nederst til højre) den tredje givne cirkel, men udelukker de to andre. De to konjugerede løsningskredse er relateret ved inversion af det følgende argument.

Generelt har alle tre forskellige cirkler en unik cirkel - den radikale cirkel - der skærer dem alle vinkelret; midten af den cirkel er det radikale centrum for de tre cirkler. Til illustration krydser den orange cirkel i figur 6 de sorte givne cirkler i rette vinkler. Inversion i den radikale cirkel efterlader de givne cirkler uændrede, men transformerer de to konjugerede lyserøde opløsningscirkler til hinanden. Under den samme inversion omdannes de tilsvarende tangenspunkter for de to løsningscirkler til hinanden; til illustration, i figur 6, transformeres de to blå punkter, der ligger på hver grøn linje, til hinanden. Derfor er linjerne, der forbinder disse konjugerede tangentpunkter, invariante under inversionen; derfor skal de passere gennem midten af inversion, som er det radikale centrum (grønne linjer, der skærer hinanden ved den orange prik i figur 6).

Inversion til et annulus

Hvis to af de tre givne cirkler ikke skærer hinanden, kan et inversionscenter vælges, så de to givne cirkler bliver koncentriske . Under denne inversion skal løsningscirklerne falde inden for annulus mellem de to koncentriske cirkler. Derfor tilhører de to enparameterfamilier. I den første familie (figur 7) omslutter løsningerne ikke den indre koncentriske cirkel, men drejer snarere som kuglelejer i ringrommet. I den anden familie (figur 8) omslutter opløsningscirklerne den indre koncentriske cirkel. Der er generelt fire løsninger til hver familie, hvilket giver otte mulige løsninger, der er i overensstemmelse med den algebraiske løsning .

Figur 7: En løsningscirkel (pink) i den første familie ligger mellem koncentriske givne cirkler (sort). To gange er opløsningsradius r _s lig med forskellen r _ydre - r _indre af den indre og ydre radius, mens to gange dens centerafstand d _{s er} lig deres sum.

Figur 8: En opløsningscirkel (pink) i den anden familie omslutter den indre givne cirkel (sort). To gange er opløsningsradius r _s lig med sum r _ydre + r _indre af den indre og ydre radius, mens to gange dens centerafstand d _{s er} lig deres forskel.

Når to af de givne cirkler er koncentriske, kan Apollonius problem let løses ved hjælp af en metode til Gauss . Radiuserne for de tre givne cirkler kendes, ligesom afstanden d _non fra det fælles koncentriske centrum til den ikke-koncentriske cirkel (figur 7). Løsningscirklen kan bestemmes ud fra dens radius r _s , vinklen θ og afstandene d _s og d _T fra dens centrum til henholdsvis det fælles koncentriske center og midten af den ikke-koncentriske cirkel. Radius og afstand d _s kendes (figur 7), og afstanden d _T = r _s ± r _non , afhængigt af om opløsningscirklen er internt eller eksternt tangent til den ikke-koncentriske cirkel. Derfor, ved kosinusloven ,

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {d _ {\ mathrm {s}}^{2}+d _ {\ mathrm {non}}^{2} -d _ {\ mathrm {T}}^{2} } {2d _ {\ mathrm {s}} d _ {\ mathrm {non}}}} \ equiv C _ {\ pm}.}

Her er en ny konstant C blevet defineret for korthed, hvor abonnementet angiver, om løsningen er eksternt eller internt tangent. En simpel trigonometrisk omlægning giver de fire løsninger

{\ displaystyle \ theta = \ pm 2 \ arctan \ venstre ({\ sqrt {\ frac {1-C} {1+C}}} \ højre).}

Denne formel betegner fire opløsninger svarende til de to valg af fortegnet for θ og de to valgmuligheder for C . De resterende fire løsninger kan opnås ved den samme metode ved hjælp af substitutionerne for r _s og d _s angivet i figur 8. Således kan alle otte løsninger af det generelle Apollonius -problem findes ved denne metode.

Enhver indledende to adskilte givne cirkler kan gøres koncentriske som følger. Den radikale akse for de to givne cirkler er konstrueret; ved at vælge to vilkårlige punkter P og Q på denne radikale akse, kan der konstrueres to cirkler, der er centreret om P og Q, og som skærer de to givne cirkler ortogonalt. Disse to konstruerede cirkler skærer hinanden i to punkter. Inversion i et sådant skæringspunkt F gør de konstruerede cirkler til lige linjer, der stammer fra F, og de to givne cirkler til koncentriske cirkler, hvor den tredje givne cirkel bliver en anden cirkel (generelt). Dette følger, fordi systemet med cirkler svarer til et sæt apollonske cirkler , der danner et bipolært koordinatsystem .

Ændring af størrelse og inversion

Nytten af inversion kan øges betydeligt ved at ændre størrelsen. Som det fremgår af Viète's rekonstruktion , kan de tre givne cirkler og løsningskredsen ændres i størrelse samtidig med, at deres tangencies bevares. Således omdannes det indledende Apollonius -problem til et andet problem, der kan være lettere at løse. For eksempel kan de fire cirkler ændres, så en given cirkel krymper til et punkt; alternativt kan to givne cirkler ofte ændres i størrelse, så de tangerer hinanden. For det tredje kan givne cirkler, der skærer hinanden, ændres i størrelse, så de bliver ikke-krydsende, hvorefter metoden til at vende om til et annulus kan anvendes. I alle sådanne tilfælde opnås løsningen af det oprindelige Apollonius -problem fra løsningen af det transformerede problem ved at fortryde størrelsen og inversionen.

Skrumper en given cirkel til et punkt

I den første metode, er de givne cirkler skrumpet eller ekspanderet (hensigtsmæssigt på deres tangering), indtil en given cirkel er skrumpet ind til et punkt P . I så fald, Apollonius' problem degenererer til CCP begrænsende tilfælde , der er problemet med at finde en løsning cirkel tangent til de to resterende givne cirkler, der passerer gennem punktet P . Inversion i en cirkel centreret om P omdanner de to givne cirkler til nye cirkler, og opløsningscirklen til en linje. Derfor er den transformerede løsning en linje, der tangerer de to transformerede givne cirkler. Der er fire sådanne løsningslinjer, som kan konstrueres ud fra de to cirkels ydre og indre homotetiske centre . Geninversion i P og fortrydelse af størrelsen ændrer en sådan løsningslinje til den ønskede løsningscirkel af det oprindelige Apollonius-problem. Alle otte generelle løsninger kan opnås ved at krympe og hæve cirklerne i henhold til de forskellige interne og ydre tangencies for hver løsning; forskellige givne cirkler kan dog krympe til et punkt for forskellige løsninger.

Ændring af størrelse på to givne cirkler til tangens

I den anden fremgangsmåde, er radierne af de givne cirkler modificeret hensigtsmæssigt med en mængde Δ r , således at to af dem er tangentiale (rørende). Deres tangenspunkt vælges som inversionens centrum i en cirkel, der skærer hver af de to rørende cirkler to steder. Ved inversion bliver de rørende cirkler til to parallelle linjer: Deres eneste skæringspunkt sendes til uendelig under inversion, så de ikke kan mødes. Den samme inversion forvandler den tredje cirkel til en anden cirkel. Løsningen på det omvendte problem skal enten være (1) en lige linje parallelt med de to givne parallelle linjer og tangere til den transformerede tredje givne cirkel; eller (2) en cirkel med konstant radius, der tangerer de to givne parallelle linjer og den transformerede givne cirkel. Re-inversion og justering radier alle kredse af Δ r frembringer en opløsning cirkel tangent til de oprindelige tre cirkler.

Gergonnes løsning

Figur 9: De to tangentlinjer for de to tangentpunkter i en given cirkel skærer hinanden på radikalaksen R (rød linje) for de to opløsningscirkler (pink). De tre skæringspunkter på R er polerne på linjerne, der forbinder de blå tangentpunkter i hver given cirkel (sort).

Gergonnes tilgang er at overveje løsningscirklerne i par. Lad et par opløsningscirkler betegnes som C _A og C _B (de lyserøde cirkler i figur 6), og lad deres tangentpunkter med de tre givne cirkler betegnes som A ₁ , A ₂ , A ₃ og B ₁ , B ₂ , henholdsvis B ₃ . Gergonnes løsning sigter mod at lokalisere disse seks punkter og dermed løse for de to løsningskredse.

Gergonnes indsigt var, at hvis en linje L ₁ kunne konstrueres således, at A ₁ og B _{1 med} garanti ville falde på den, kunne disse to punkter identificeres som skæringspunkterne for L ₁ med den givne cirkel C ₁ (figur 6). De resterende fire tangentpunkter ville blive placeret på samme måde ved at finde linjer L ₂ og L _3, der indeholdt henholdsvis A ₂ og B ₂ , og A ₃ og B ₃ . For at konstruere en linje som L ₁ skal der identificeres to punkter, der ligger på den; men disse punkter behøver ikke at være tangentpunkterne. Gergonne var i stand til at identificere to andre punkter for hver af de tre linjer. Et af de to punkter er allerede identificeret: det radikale center G ligger på alle tre linjer (figur 6).

At lokalisere et andet punkt på linierne L ₁ , L ₂ og L ₃ , Gergonne bemærkede en gensidigt forhold mellem disse linjer og den radikale akse R opløsningens cirkler, C _A og C _B . For at forstå dette gensidige forhold skal du overveje de to tangentlinjer til cirklen C ₁ tegnet ved dens tangentpunkter A ₁ og B ₁ med opløsningscirklerne; skæringspunktet mellem disse tangenten linjer er det pol punkt af L ₁ i C ₁ . Da afstanden fra det polpunkt til tangentpunkterne A ₁ og B ₁ er ens, skal dette polpunkt også ligge på løsningens cirkels radikale akse R pr. Definition (figur 9). Forholdet mellem polpunkter og deres polære linjer er gensidigt; hvis polen af L ₁ i C ₁ ligger på R , skal polen af R i C ₁ omvendt ligge på L ₁ . Hvis vi således kan konstruere R , kan vi finde sin pol P ₁ i C ₁ , hvilket giver den nødvendige andet punkt på L ₁ (figur 10).

Figur 10: Polerne (røde punkter) for den radikale akse R i de tre givne cirkler (sorte) ligger på de grønne linjer, der forbinder tangentpunkterne. Disse linjer kan konstrueres ud fra polerne og det radikale centrum (orange).

Gergonne fandt den radikale akse R for de ukendte opløsningscirkler som følger. Ethvert par cirkler har to centre for lighed ; disse to punkter er de to mulige skæringspunkter mellem to tangentlinjer til de to cirkler. Derfor har de tre givne cirkler seks ligheder, to for hvert særskilte par givne cirkler. Bemærkelsesværdigt ligger disse seks punkter på fire linjer, tre punkter på hver linje; desuden svarer hver linje til radikalaksen for et potentielt par løsningscirkler. For at vise dette overvejede Gergonne linjer gennem tilsvarende tangenspunkter på to af de givne cirkler, f.eks. Linjen defineret af A ₁ / A ₂ og linjen defineret af B ₁ / B ₂ . Lad X ₃ være et centrum for sindbillede for de to cirkler C ₁ og C ₂ ; derefter er A ₁ / A ₂ og B ₁ / B ₂ par af antihomologe punkter , og deres linjer skærer hinanden ved X ₃ . Det følger derfor, at produkterne af afstande er ens

{\ displaystyle {\ overline {X_ {3} A_ {1}}} \ cdot {\ overline {X_ {3} A_ {2}}} = {\ overline {X_ {3} B_ {1}}} \ cdot {\ overline {X_ {3} B_ {2}}}}

hvilket indebærer, at X ₃ ligger på den radikale akse for de to opløsningscirkler. Det samme argument kan anvendes på de andre cirkelpar, således at tre centre for lighed for de givne tre cirkler skal ligge på de radikale akser af par af løsningscirkler.

Sammenfattende ønskede linje L ₁ er defineret af to punkter: den radikale center G af de tre givne cirkler og stangen i C ₁ af en af de fire linjer mellem homotetisk centre. At finde den samme pol i C ₂ og C ₃ giver L ₂ og L ₃ , henholdsvis; således kan alle seks punkter lokaliseres, hvorfra der kan findes et par løsningscirkler. Gentagelse af denne procedure for de resterende tre homothetic-center linjer giver seks yderligere løsninger, hvilket giver otte løsninger i alt. Men hvis en linje L _k ikke skærer sin cirkel C _k for nogle k , er der ingen par løsninger til at homotetisk-midterlinien.

Krydsningsteori

Moderne algebraisk geometri , og især skæringsteori , kan bruges til at løse Apollonius 'problem. I denne tilgang genfortolkes problemet som et udsagn om cirkler i det komplekse projektive plan . Løsninger med komplekse tal er tilladt, og degenererede situationer tælles med mangfoldighed. Når dette er gjort, er der altid otte løsninger på problemet.

Hver kvadratisk ligning i $X$ , $Y$ og $Z$ bestemmer en unik kegle, dens forsvindende locus. Omvendt har hver kegle i det komplekse projektive plan en ligning, og den ligning er unik op til en samlet skaleringsfaktor (fordi omskalering af en ligning ikke ændrer dens forsvindende locus). Derfor kan sættet af alle kegler parametriseres af femdimensionalt projektivt rum $P 5$ , hvor korrespondancen er

{\ displaystyle \ {[X: Y: Z] \ in \ mathbf {P}^{2} \ colon AX^{2}+BXY+CY^{2}+DXZ+EYZ+FZ^{2} = 0 \} \ venstrehøjre pil [A: B: C: D: E: F] \ in \ mathbf {P} ^{5}.}

En cirkel i det komplekse projektive plan er defineret som en kegle, der passerer gennem de to punkter $O + = [1: i : 0]$ og $O - = [1: - i : 0]$ , hvor $i$ betegner en kvadratrod af $- 1$ . Punkterne $O +$ og $O -$ kaldes de cirkulære punkter . Den projektiv række af alle kredse er subvariety af $P 5$ består af de punkter, der svarer til keglesnit passerer gennem de cirkulære punkter. Udskiftning af de cirkulære punkter i ligningen for en generisk kegle giver de to ligninger

{\ displaystyle A+Bi-C = 0,}

{\ displaystyle A-Bi-C = 0.}

At tage summen og forskellen på disse ligninger viser, at det er ækvivalent at pålægge betingelserne

{\ displaystyle A = C}

og .

{\ displaystyle B = 0}

Derfor, de mange forskellige alle kredse er en tredimensional lineær underrum af $P 5$ . Efter skalering og afslutning af firkanten viser disse ligninger også, at hver kegle, der passerer gennem de cirkulære punkter, har en ligning af formen

{\ displaystyle (X-aZ)^{2}+(Y-bZ)^{2} = r^{2} Z^{2},}

som er homogeniseringen af den sædvanlige ligning af en cirkel i affineplanet. Derfor er studiecirkler i ovennævnte betydning næsten ækvivalent med at studere cirkler i konventionel forstand. Den eneste forskel er, at ovenstående sans tillader degenererede cirkler, der er foreningen af to linjer. De ikke-degenererede cirkler kaldes glatte cirkler , mens de degenererede kaldes entalcirkler . Der er to typer af entydige cirkler. Den ene er foreningen af linjen ved uendelig $Z = 0$ med en anden linje i det projektive plan (muligvis linjen ved uendelig igen), og den anden er forening af to linjer i det projektive plan, en gennem hvert af de to cirkulære punkter. Dette er grænserne for glatte cirkler, da radius $r$ har en tendens til henholdsvis $+\infty$ og $0$ . I sidstnævnte tilfælde har intet punkt på nogen af de to linjer reelle koordinater bortset fra oprindelsen $[0: 0: 1]$ .

Lad $D$ være en fast glat cirkel. Hvis $C$ er en anden cirkel, krydser $C$ og $D$ ved definitionen af en cirkel ved cirkulære punkter $O +$ og $O -$ . Fordi $C$ og $D$ er kegler, betyder Bézouts sætning, at $C$ og $D$ skærer i fire punkter i alt, når disse punkter tælles med den korrekte skæringsmultiplicitet . Det vil sige, at der er fire skæringspunkter $O +$ , $O -$ , $P$ og $Q$ , men nogle af disse punkter kan kollidere. Appolonius 'problem vedrører situationen, hvor $P = Q$ , hvilket betyder, at skæringsmultipliciteten på det tidspunkt er $2$ ; hvis $P$ også er lig med et cirkulært punkt, skal dette tolkes som skæringsmultiplikiteten $3$ .

Lad $Z D$ være de mange forskellige cirkler tangerer $D$ . Denne sort er en kvadrisk kegle i $P 3$ i alle cirkler. For at se dette skal du overveje forekomstkorrespondancen

{\ displaystyle \ Phi = \ {(r, C) \ i D \ times \ mathbf {P} ^{3} \ kolon C {\ tekst {er tangent til}} D {\ tekst {at}} r \} .}

For en kurve, der er forsvindende locus for en enkelt ligning $f = 0$ , betyder betingelsen, at kurven møder $D$ ved $r$ med multiplicitet $m$ , at Taylor -serieudvidelsen af $f | D$ forsvinder for at bestille $m$ at $r$ ; det er derfor $m$ lineære betingelser for koefficienterne $f$ . Dette viser, at for hver $r$ , fiberen $Φ$ løbet $r$ er en $P 1$ skåret ud af to lineære ligninger i løbet af cirkler. Følgelig er $Φ$ irreducerbar af dimension $2$ . Da det er muligt at udvise en cirkel, der er tangent til $D$ på kun et enkelt punkt, skal et generisk element af $Z D kun$ være tangent på et enkelt punkt. Derfor er projektionen $Φ \to P 2, der$ sender $(r, C)$ til $C$ en birational morfisme . Heraf følger, at billedet af $Φ$ , som er $Z D$ , er også irreducible og todimensional.

At bestemme formen af $Z D$ , fix to forskellige cirkler $C 0$ og $C \infty$ , ikke nødvendigvis tangent til $D$ . Disse to cirkler bestemmer en blyant , hvilket betyder en linje $L$ i cirklernes $P 3$ . Hvis ligningerne for $C 0$ og $C \infty$ er henholdsvis $f$ og $g$ , svarer punkterne på $L$ til de cirkler, hvis ligninger er $Sf + Tg$ , hvor $[S : T]$ er et punkt på $P 1$ . De punkter, hvor $L$ møder $Z D$ er netop de kredse i blyanten, som tangerer $D$ .

Der er to muligheder for antallet af skæringspunkter. Et er, at enten $f$ eller $g$ , sige $f$ , er ligningen for $D$ . I dette tilfælde er $L$ er en linje gennem $D$ . Hvis $C \infty$ er tangent til $D$ , så så er hver cirkel i blyanten, og derfor $L$ er indeholdt i $Z D$ . Den anden mulighed er, at hverken $f$ eller $g$ er ligningen for $D$ . I dette tilfælde er funktionen $(f / g) | D$ er en kvadratisk kvotient, hvoraf ingen forsvinder identisk. Derfor forsvinder den på to punkter og har poler på to punkter. Disse er punkterne i henholdsvis $C 0 \cap D$ og $C \infty \cap D$ , talt med multiplicitet og med de cirkulære punkter trukket fra. Den rationelle funktion bestemmer en morfisme $D \to P 1$ af grad to. Fiberen i $[S : T] \in P 1$ er sættet af punkter $P$ , for hvilken $f (P) T = g (P) S$ . Disse er netop de punkter, hvor den cirkel, hvis ligning er $Tf - Sg$ møder $D$ . De filial punkter i denne morphism er det cirkler tangerer $D$ . Ved Riemann – Hurwitz -formlen er der præcist to forgreningspunkter, og derfor møder $L$ $Z D$ i to punkter. Tilsammen viser disse to muligheder for skæringspunktet mellem $L$ og $Z D$ , at $Z D$ er en kvadrisk kegle. Alle sådanne kegler i $P 3$ er de samme op til en ændring af koordinater, så dette fuldstændigt bestemmer formen af $Z D$ .

For at afslutte argumentet, lad $D 1$ , $D 2$ og $D 3$ være tre cirkler. Hvis skæringspunktet $Z D 1 \cap Z D 2 \cap Z D 3$ er begrænset, så har det grad $23 = 8$ , og derfor er der otte løsninger på problemet med Apollonius, talt med mangfoldighed. For at bevise, at skæringspunktet er generelt begrænset, skal du overveje forekomstkorrespondancen

{\ displaystyle \ Psi = \ {(D_ {1}, D_ {2}, D_ {3}, C) \ in (\ mathbf {P} ^{3}) ^{4} \ kolon C {\ text { er tangent for alle}} D_ {i} \}.}

Der er en morfisme, der projicerer $Ψ$ på sin endelige faktor på $P 3$ . Fiberen over $C$ er $Z C 3$ . Dette har dimension $6$ , så $Ψ$ har dimension $9$ . Fordi $(P 3) 3$ også har dimension $9$ , kan projektionens generiske fiber fra $Ψ$ til de tre første faktorer ikke have en positiv dimension. Dette beviser, at der generelt tælles otte løsninger med mangfoldighed. Da det er muligt at vise en konfiguration, hvor de otte løsninger er forskellige, skal den generiske konfiguration have alle otte løsninger adskilte.

Radier

I det generiske problem med otte løsningscirkler summerer gensidighederne for radierne i fire af løsningscirklerne til den samme værdi, som gensidene for radiuserne i de andre fire løsningscirkler

Særlige tilfælde

Ti kombinationer af punkter, cirkler og linjer

Apollonius problem er at konstruere en eller flere cirkler, der tangerer til tre givne objekter i et plan, som kan være cirkler, punkter eller linjer. Dette giver anledning til ti typer af Apollonius 'problem, en svarende til hver kombination af cirkler, linjer og punkter, der kan mærkes med tre bogstaver, enten C , L eller P , for at angive, om de givne elementer er en cirkel, linje henholdsvis eller punkt ( tabel 1 ). Som et eksempel betegnes typen af Apollonius -problem med en given cirkel, linje og punkt som CLP .

Nogle af disse specielle sager er meget lettere at løse end den generelle sag for tre givne cirkler. De to enkleste tilfælde er problemerne med at tegne en cirkel gennem tre givne punkter ( PPP ) eller tangere til tre linjer ( LLL ), som først blev løst af Euclid i hans elementer . Eksempelvis kan PPP -problemet løses som følger. Løsningscirkelens centrum er lige langt fra alle tre punkter og skal derfor ligge på den vinkelrette bisektorlinje af to. Derfor er midten skæringspunktet mellem to vinkelrette bisektorer. På samme måde skal LLL -sagen ligge på en linje, der skærer vinklen ved de tre skæringspunkter mellem de tre givne linjer; derfor ligger midten ved skæringspunktet mellem to sådanne vinkel -bisektorer. Da der er to sådanne bisektorer i hvert skæringspunkt for de tre givne linjer, er der fire løsninger på det generelle LLL -problem.

Punkter og linjer kan ses som særlige tilfælde af cirkler; et punkt kan betragtes som en cirkel med uendelig lille radius, og en linje kan tænkes på en uendelig stor cirkel, hvis centrum også er i det uendelige. Fra dette perspektiv er det generelle Apollonius -problem at konstruere cirkler, der tangerer tre givne cirkler. De ni andre sager, der involverer punkter og linjer, kan betragtes som begrænsende tilfælde af det generelle problem. Disse begrænsende sager har ofte færre løsninger end det generelle problem; for eksempel halverer udskiftningen af en given cirkel med et givet punkt antallet af løsninger, da et punkt kan opfattes som en uendelig lille cirkel, der enten er internt eller eksternt tangent.

Tabel 1: Ti typer af Apollonius 'problem
Indeks	Kode	Givet elementer	Antal løsninger (generelt)
1	OPP	tre point	1
2	LPP	en linje og to punkter	2
3	LLP	to linjer og et punkt	2
4	CPP	en cirkel og to punkter	2
5	LLL	tre linjer	4
6	CLP	en cirkel, en linje og et punkt	4
7	CCP	to cirkler og et punkt	4
8	CLL	en cirkel og to linjer	8
9	CCL	to cirkler og en streg	8
10	CCC	tre cirkler (det klassiske problem)	8

Antal løsninger

Figur 11: Et Apollonius -problem uden løsninger. En løsningscirkel (pink) skal krydse den stiplede givne cirkel (sort) for at røre ved begge de andre givne cirkler (også sort).

Problemet med at tælle antallet af løsninger på forskellige typer af Apollonius 'problem tilhører feltet opregningsgeometri . Det generelle antal løsninger for hver af de ti typer af Apollonius 'problem er angivet i tabel 1 ovenfor. Særlige arrangementer af de givne elementer kan dog ændre antallet af løsninger. Til illustration har Apollonius 'problem ingen løsning, hvis en cirkel adskiller de to (figur 11); for at røre begge de faste givne cirkler skulle løsningscirklen krydse den stiplede givne cirkel; men det kan den ikke, hvis den skal røre tangentielt den stiplede cirkel. Omvendt, hvis tre givne cirkler alle er tangenter på det samme punkt, så er enhver cirkeltangent på det samme punkt en løsning; sådanne Apollonius -problemer har et uendeligt antal løsninger. Hvis en af de givne cirkler er identiske, er der ligeledes en uendelighed af løsninger. Hvis kun to givne cirkler er identiske, er der kun to forskellige givne cirkler; løsningscirklernes centre danner en hyperbola , som den bruges i en løsning på Apollonius 'problem.

En udtømmende opregning af antallet af løsninger til alle mulige konfigurationer af tre givne cirkler, punkter eller linjer blev først foretaget af Muirhead i 1896, selvom tidligere arbejde var blevet udført af Stoll og Study. Muirheads arbejde var imidlertid ufuldstændigt; den blev udvidet i 1974, og en endelig optælling med 33 forskellige sager blev offentliggjort i 1983. Selvom løsninger på Apollonius 'problem generelt forekommer i par, der er relateret til inversion , er et ulige antal løsninger mulig i nogle tilfælde, f.eks. den enkelte løsning til OPP , eller når en eller tre af de givne cirkler selv er løsninger. (Et eksempel på sidstnævnte er givet i afsnittet om Descartes 'sætning .) Der er imidlertid ingen Apollonius -problemer med syv løsninger. Alternative løsninger baseret på geometrien i cirkler og kugler er blevet udviklet og brugt i højere dimensioner.

Gensidigt tangente givne cirkler: Soddys cirkler og Descartes 'sætning

Hvis de tre givne cirkler indbyrdes tangerer, har Apollonius 'problem fem løsninger. Tre løsninger er de givne cirkler i sig selv, da hver er tangent for sig selv og for de to andre givne cirkler. De resterende to løsninger (vist med rødt i figur 12) svarer til de indskrevne og omskrevne cirkler og kaldes Soddys cirkler . Dette særlige tilfælde af Apollonius 'problem er også kendt som problemet med fire mønter . De tre givne cirkler af dette Apollonius -problem danner en Steiner -kæde, der tangerer de to Soddys cirkler.

Figur 12: De to løsninger (rød) på Apollonius 'problem med gensidigt tangente givne cirkler (sorte), mærket med deres krumninger.

Enten Soddy -cirkel, når den tages sammen med de tre givne cirkler, frembringer et sæt med fire cirkler, der indbyrdes tangerer på seks punkter. Radierne i disse fire cirkler er relateret ved en ligning kendt som Descartes 'sætning . I et brev fra 1643 til prinsesse Elizabeth af Bøhmen viste René Descartes det

{\ displaystyle (k_ {1}+k_ {2}+k_ {3}+k_ {s})^{2} = 2 (k_ {1}^{2}+k_ {2}^{2}+k_ {3}^{2}+k_ {s}^{2})}

hvor k _s = 1/ r _s og r _s er krumning og radius af henholdsvis opløsningscirklen og tilsvarende for krumningerne k ₁ , k ₂ og k ₃ og radii r ₁ , r ₂ og r ₃ af de tre angivne cirkler. For hvert sæt af fire indbyrdes tangentcirkler er der et andet sæt med fire indbyrdes tangentcirkler, der er tangent på de samme seks punkter.

Descartes 'sætning blev genopdaget uafhængigt i 1826 af Jakob Steiner , i 1842 af Philip Beecroft og igen i 1936 af Frederick Soddy . Soddy offentliggjorde sine fund i det videnskabelige tidsskrift Nature som et digt, The Kiss Precise , hvoraf de to første strofer er gengivet nedenfor. Den første strofe beskriver Soddys cirkler, hvorimod den anden strofe giver Descartes 'sætning. I Soddys digt siges to cirkler at "kysse", hvis de tangerer, mens udtrykket "bøjning" refererer til krumning k af cirklen.

For par læber at kysse måske

Indeholder ingen trigonometri.

' Sådan er det ikke, når fire cirkler kysser

Hver enkelt de tre andre.

For at fjerne dette skal de fire være

Som tre ud af en eller en ud af tre.

Hvis en ud af tre, uden tvivl

Hver får tre kys udefra.

Hvis tre i ét, så er den

Tre gange kyssede internt.

Fire cirkler til kysset kommer.

De mindre er benter.

Bøjningen er bare omvendt af

Afstanden fra centrum.

Selvom deres intriger efterlod Euclid stum

Der er nu ikke behov for tommelfingerregel.

Da nulbøjning er en død lige linje

Og konkave bøjninger har minustegn,

Summen af firkanterne for alle fire bøjninger

Er halvdelen af kvadratet af deres sum.

Diverse udvidelser af Descartes 'sætning er udledt af Daniel Pedoe .

Generaliseringer

Apollonius 'problem kan udvides til at konstruere alle de cirkler, der skærer tre givne cirkler i en præcis vinkel θ eller ved tre specificerede krydsvinkler θ ₁ , θ ₂ og θ ₃ ; den almindelige Apollonius 'problem svarer til et specielt tilfælde, hvor krydsningsvinklen er nul for alle tre givne cirkler. En anden generalisering er det dobbelte af den første udvidelse, nemlig at konstruere cirkler med tre specificerede tangentielle afstande fra de tre givne cirkler.

Figur 13: En symmetrisk apollonsk pakning, også kaldet Leibniz -pakningen, efter dens opfinder Gottfried Leibniz .

Apollonius 'problem kan udvides fra flyet til kuglen og andre kvadratiske overflader . For sfæren er problemet at konstruere alle de cirkler (grænserne for sfæriske hætter ), der tangerer tre givne cirkler på sfæren. Dette sfæriske problem kan gøres til et tilsvarende plant problem ved hjælp af stereografisk projektion . Når løsningerne til det plane problem er blevet konstrueret, kan de tilsvarende løsninger på det sfæriske problem bestemmes ved at vende den stereografiske projektion. Endnu mere generelt kan man overveje problemet med fire tangentkurver, der stammer fra skæringspunkterne mellem en vilkårlig kvadratisk overflade og fire planer, et problem først overvejet af Charles Dupin .

Ved at løse Apollonius 'problem gentagne gange for at finde den indskrevne cirkel, kan mellemrummene mellem indbyrdes tangentielle cirkler fyldes vilkårligt fint og danne en apollonsk pakning , også kendt som en Leibniz -pakning eller en apollonsk pakning . Denne pakning er en fraktal , er selvlignende og har en dimension d , der ikke kendes nøjagtigt, men er omtrent 1,3, hvilket er højere end for en almindelig (eller udbedret ) kurve ( d = 1), men mindre end for et fly ( d = 2). Den apollonske pakning blev først beskrevet af Gottfried Leibniz i 1600-tallet og er en buet forløber for Sierpiński-trekanten fra det 20. århundrede . Den apollonske pakning har også dybe forbindelser til andre matematikområder; for eksempel er det grænsesættet for Kleinian -grupper .

Konfigurationen af en cirkel, der tangerer fire cirkler i flyet, har særlige egenskaber, som er blevet belyst af Larmor (1891) og Lachlan (1893). En sådan konfiguration er også grundlaget for Caseys sætning , i sig selv en generalisering af Ptolemaios 'teorem .

Udvidelsen af Apollonius 'problem til tre dimensioner, nemlig problemet med at finde en femte sfære, der tangerer fire givne sfærer, kan løses ved analoge metoder. For eksempel kan de givne og løsningssfærer ændres i størrelse, så en given kugle krympes til spids, samtidig med at tangensen bevares. Inversion i dette punkt reducerer Apollonius 'problem med at finde et plan, der tangerer tre givne sfærer. Der er generelt otte sådanne fly, der bliver løsningerne på det oprindelige problem ved at vende omvendelsen og størrelsen. Dette problem blev først overvejet af Pierre de Fermat , og mange alternative løsningsmetoder er blevet udviklet gennem århundreder.

Apollonius 'problem kan endda udvides til d -dimensioner for at konstruere hypersfærerne, der tangerer et givet sæt d + 1 hypersfærer. Efter offentliggørelsen af Frederick Soddys genudledning af Descartes-sætningen i 1936 løste flere mennesker (uafhængigt) den indbyrdes tangente sag, der svarer til Soddys cirkler i d- dimensioner.

Ansøgninger

Den primære anvendelse af Apollonius 'problem, som formuleret af Isaac Newton, er hyperbolsk trilateration , der søger at bestemme en position fra forskellene i afstande til mindst tre punkter. For eksempel kan et skib søge at bestemme sin position ud fra forskellene i ankomsttider for signaler fra tre synkroniserede sendere. Løsninger på Apollonius 'problem blev brugt i første verdenskrig til at bestemme placeringen af et artilleristykke fra det tidspunkt, hvor et skud blev hørt på tre forskellige positioner, og hyperbolsk trilateration er det princip, der bruges af Decca Navigator System og LORAN . På samme måde kan placeringen af et fly bestemmes ud fra forskellen i ankomsttider for dets transponder -signal på fire modtagestationer. Dette multilaterationsproblem svarer til den tredimensionelle generalisering af Apollonius 'problem og gælder for globale navigationssatellitsystemer (se GPS#Geometrisk fortolkning ). Det bruges også til at bestemme placeringen af kaldende dyr (f.eks. Fugle og hvaler), selvom Apollonius 'problem ikke vedrører, hvis lydhastigheden varierer med retningen (dvs. transmissionsmediet er ikke isotropisk ).

Apollonius 'problem har andre applikationer. I bog 1, proposition 21 i sin Principia , brugte Isaac Newton sin løsning på Apollonius 'problem til at konstruere en bane i himmelsk mekanik fra centrum for tiltrækning og observationer af tangentlinjer til banen svarende til øjeblikkelig hastighed . Det særlige tilfælde med problemet med Apollonius når alle tre cirkler er tangent anvendes i Hardy-Littlewood cirkel metode af analytisk talteori at konstruere Hans Rademacher 's kontur for kompleks integration, givet ved grænserne for et uendeligt sæt af Ford cirkler hver heraf berører flere andre. Endelig er Apollonius 'problem blevet anvendt på nogle typer pakningsproblemer , der opstår i forskellige felter, f.eks. De fejlkorrigerende koder, der bruges på dvd'er og design af lægemidler, der binder et bestemt enzym i en patogen bakterie .

Se også

Referencer

Yderligere læsning

Boyd, DW (1973). "Den osculatoriske pakning af en tredimensionel sfære". Canadian Journal of Mathematics . 25 (2): 303–322. doi : 10.4153/CJM-1973-030-5 .
Callandreau, Édouard (1949). Célèbres problèmes mathématiques (på fransk). Paris: Albin Michel. s. 219–226. OCLC 61042170 .
Camerer, JG (1795). Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia (på latin). Gothae: Ettinger.
Gisch D, Ribando JM (2004). "Apollonius 'problem: En undersøgelse af løsninger og deres forbindelser" (PDF) . American Journal of Undergraduate Research . 3 : 15–25. doi : 10.33697/ajur.2004.010 .
Pappus fra Alexandria (1933). Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique (på fransk). Paris. OCLC 67245614 . Trans., Introd. Og noter af Paul Ver Eecke.
Simon, M (1906). Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert (på tysk). Berlin: Teubner. s. 97–105.
Wells, D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . New York: Penguin Books. s. 3-5 . ISBN 0-14-011813-6.

eksterne links

"Spørg Dr. Math løsning" . Mathforum . Hentet 2008-05-05 .
Weisstein, Eric W. "Apollonius 'problem" . MathWorld .
"Apollonius 'problem" . Klip knuden . Hentet 2008-05-05 .
Kunkel, Paul. "Tangentcirkler" . Whistler Alley . Hentet 2008-05-05 .
Austin, David (marts 2006). "Når kys involverer trigonometri" . Feature kolonne på American Mathematical Society hjemmeside . Hentet 2008-05-05 .

Languages

In other projects