Matematikfilosofi - Philosophy of mathematics

Den matematikkens filosofi er gren af filosofien , der studerer antagelser, fonde og konsekvenser af matematik . Det har til formål at forstå matematikkens art og metoder og finde matematikkens sted i menneskers liv. Matematikkens logiske og strukturelle karakter gør selve undersøgelsen både bred og unik blandt dens filosofiske modparter.

Historie

Matematikens oprindelse er genstand for argumenter og uenigheder. Hvorvidt matematikkens fødsel var tilfældigt eller forårsaget af nødvendighed under udviklingen af andre fag, som fysik, er stadig et spørgsmål om produktive debatter.

Mange tænkere har bidraget med deres ideer om matematikkens art. I dag har nogle matematikere til hensigt at redegøre for denne form for undersøgelse og dens produkter, som de er, mens andre understreger en rolle for sig selv, der går ud over simpel fortolkning til kritisk analyse. Der er traditioner for matematisk filosofi i både vestlig filosofi og østlig filosofi . Vestlige matematikfilosofier går så langt tilbage som Pythagoras , der beskrev teorien "alt er matematik" ( matematik ), Platon , der omskriver Pythagoras, og studerede matematiske objekters ontologiske status og Aristoteles , der studerede logik og spørgsmål relateret til uendelig (faktisk versus potentiale).

Græsk filosofi om matematik var stærkt påvirket af deres studie af geometri . For eksempel havde grækerne på et tidspunkt den opfattelse, at 1 (et) ikke var et tal , men snarere en enhed med vilkårlig længde. Et tal blev defineret som en mængde. Derfor repræsenterede 3 f.eks. Et vist antal enheder, og var dermed ikke "virkelig" et tal. På et andet tidspunkt blev der fremført et lignende argument om, at 2 ikke var et tal, men en grundlæggende forestilling om et par. Disse synspunkter kommer fra grækernes stærkt geometriske lige-kant-og-kompas-synspunkt: ligesom linjer, der er tegnet i et geometrisk problem, måles i forhold til den første vilkårligt tegnede linje, er tallene på en talelinje også målt i forhold til det vilkårlige første "tal" eller "et".

Disse tidligere græske ideer om tal blev senere forstærket af opdagelsen af irrationeliteten af kvadratroden af to. Hippasus , en discipel fra Pythagoras , viste, at diagonalen af en enheds firkant var uforlignelig med dens (enhedslængde) kant: med andre ord beviste han, at der ikke var noget eksisterende (rationelt) tal, der nøjagtigt viser andelen af enhedens diagonal firkantet til kanten. Dette medførte en betydelig revurdering af den græske matematikfilosofi. Ifølge legenden var andre pythagoræere så traumatiserede af denne opdagelse, at de myrdede Hippasus for at forhindre ham i at sprede hans kætteriske idé. Simon Stevin var en af de første i Europa, der udfordrede græske ideer i 1500 -tallet. Fra og med Leibniz flyttede fokus stærkt til forholdet mellem matematik og logik. Dette perspektiv dominerede matematikfilosofien gennem Freges og Russells tid , men blev sat i tvivl ved udviklingen i slutningen af det 19. og begyndelsen af det 20. århundrede.

Moderne filosofi

Et flerårigt problem i matematikfilosofien vedrører forholdet mellem logik og matematik i deres fælles fundamenter. Mens filosoffer fra det 20. århundrede fortsatte med at stille de spørgsmål, der blev nævnt i begyndelsen af denne artikel, var matematikfilosofien i det 20. århundrede præget af en fremherskende interesse for formel logik , sætteori (både naiv sætteori og aksiomatisk sætteori ) og grundlæggende spørgsmål.

Det er et dybtgående puslespil, der på den ene side synes matematiske sandheder at have en overbevisende uundgåelighed, men på den anden side er kilden til deres "sandhed" fortsat undvigende. Undersøgelser af dette spørgsmål er kendt som grundlaget for matematikprogrammet .

I begyndelsen af det 20. århundrede begyndte matematikfilosoffer allerede at opdele sig i forskellige tankeskoler om alle disse spørgsmål, der stort set blev kendetegnet ved deres billeder af matematisk epistemologi og ontologi . Tre skoler, formalisme , intuitionisme og logik , opstod på dette tidspunkt, dels som reaktion på den stadig mere udbredte bekymring for, at matematik som den var, og især analysen , ikke levede op til de standarder for sikkerhed og strenghed , man havde taget for givet. Hver skole behandlede de spørgsmål, der kom frem på det tidspunkt, enten ved at forsøge at løse dem eller hævde, at matematik ikke er berettiget til dens status som vores mest betroede viden.

Overraskende og kontraintuitiv udvikling inden for formel logik og sætteori tidligt i det 20. århundrede førte til nye spørgsmål om det, der traditionelt blev kaldt grundlaget for matematik . Efterhånden som århundredet udfoldede sig, udvidede det oprindelige fokus til bekymring sig til en åben udforskning af matematikkens grundlæggende aksiomer, idet den aksiomatiske tilgang har været taget for givet siden Euklides tid omkring 300 fvt som det naturlige grundlag for matematik. Forestillinger om aksiom , proposition og bevis samt forestillingen om, at et forslag er sandt for et matematisk objekt (se opgave ), blev formaliseret, så de kunne behandles matematisk. De Zermelo-Fraenkel aksiomer for mængdelære blev formuleret som gav en begrebsmæssig ramme, hvor meget matematisk diskurs vil blive fortolket. I matematik, som i fysik, var der opstået nye og uventede ideer, og der kom betydelige ændringer. Med Gödel -nummerering kunne propositioner tolkes som at henvise til sig selv eller andre forslag, hvilket muliggjorde undersøgelse af konsistensen af matematiske teorier. Denne reflekterende kritik, hvor den undersøgte teori "selv bliver genstand for en matematisk undersøgelse", fik Hilbert til at kalde en sådan undersøgelse for metamatematik eller bevisteori .

I midten af århundredet blev der skabt en ny matematisk teori af Samuel Eilenberg og Saunders Mac Lane , kendt som kategoriteori , og den blev en ny kandidat til det naturlige sprog i matematisk tænkning. Efterhånden som det 20. århundrede skred frem, divergerede filosofiske meninger om, hvor velfunderede spørgsmålene om fundament, der blev rejst i århundredets begyndelse. Hilary Putnam opsummerede et fælles syn på situationen i den sidste tredjedel af århundredet ved at sige:

Når filosofien opdager noget galt med videnskaben, skal videnskaben undertiden ændres - Russells paradoks kommer til at tænke på, ligesom Berkeleys angreb på det faktiske uendelige - men oftere er det filosofien, der skal ændres. Jeg tror ikke, at de vanskeligheder, filosofien finder med klassisk matematik i dag, er ægte vanskeligheder; og jeg tror, at de filosofiske fortolkninger af matematik, som vi tilbydes på alle sider, er forkerte, og at "filosofisk fortolkning" er det, matematik ikke har brug for.

Matematikfilosofien forløber i dag ad flere forskellige undersøgelseslinjer af matematikere, logikere og matematikere, og der er mange tankeskoler om emnet. Skolerne behandles separat i det næste afsnit, og deres antagelser forklares.

Store temaer

Matematisk realisme

Matematisk realisme , ligesom realisme generelt, mener, at matematiske enheder eksisterer uafhængigt af det menneskelige sind . Således opfinder mennesker ikke matematik, men opdager det snarere, og alle andre intelligente væsener i universet ville formodentlig gøre det samme. I dette synspunkt er der virkelig en slags matematik, der kan opdages; trekanter , for eksempel, er virkelige enheder, ikke skabelser af det menneskelige sind.

Mange arbejdende matematikere har været matematiske realister; de ser sig selv som opdagere af naturligt forekommende objekter. Eksempler omfatter Paul Erdős og Kurt Gödel . Gödel troede på en objektiv matematisk virkelighed, der kunne opfattes på en måde analog med sanseopfattelse. Visse principper (f.eks. For to objekter er der en samling objekter bestående af netop de to objekter) kan umiddelbart ses at være sande, men formodningen om kontinuumhypotesen kan vise sig at være uafgjort på grundlag af sådanne principper. Gödel foreslog, at kvasi-empirisk metode kunne bruges til at tilvejebringe tilstrækkelige beviser til med rimelighed at kunne antage en sådan formodning.

Inden for realismen er der forskelle afhængigt af, hvilken slags eksistens man tager matematiske enheder at have, og hvordan vi ved om dem. Store former for matematisk realisme omfatter platonisme og aristotelisme .

Matematisk anti-realisme

Matematisk anti-realisme mener generelt, at matematiske udsagn har sandhedsværdier, men at de ikke gør det ved at svare til et særligt område af immaterielle eller ikke-empiriske enheder. Store former for matematisk anti-realisme omfatter formalisme og fiktionalisme .

Moderne tankeskoler

Kunstneriske

Den opfattelse, der hævder, at matematik er den æstetiske kombination af antagelser, og derefter også hævder, at matematik er en kunst . En berømt matematiker, der hævder, at det er den britiske GH Hardy og også metaforisk den franske Henri Poincaré . For Hardy lignede definitionen på matematik i sin bog, A Mathematicians undskyldning mere den æstetiske kombination af begreber.

Platonisme

Matematisk platonisme er den form for realisme, der antyder, at matematiske enheder er abstrakte, ikke har nogen spatiotemporale eller kausale egenskaber og er evige og uforanderlige. Dette hævdes ofte at være den opfattelse, de fleste mennesker har af tal. Udtrykket platonisme bruges, fordi en sådan opfattelse ses at parallel Platons 's Theory of Forms og en 'World of Ideas'(græsk: Eidos (εἶδος)), der er beskrevet i Platons Hulelignelsen : den daglige verden kan kun ufuldkomment omtrentlig en uforanderlig, ultimativ virkelighed. Både Platons hule og platonisme har meningsfulde, ikke bare overfladiske forbindelser, fordi Platons ideer blev forudgået og sandsynligvis påvirket af de meget populære pythagoræere i det antikke Grækenland, der mente, at verden, bogstaveligt talt, blev genereret af tal .

Et stort spørgsmål, der overvejes i matematisk platonisme, er: Præcis hvor og hvordan findes de matematiske enheder, og hvordan ved vi om dem? Er der en verden, helt adskilt fra vores fysiske, som er besat af de matematiske enheder? Hvordan kan vi få adgang til denne separate verden og opdage sandheder om enhederne? Et foreslået svar er Ultimate Ensemble , en teori, der postulerer, at alle strukturer, der eksisterer matematisk, også eksisterer fysisk i deres eget univers.

Kurt Gödel

Kurt Gödel 's platonisme postulerer en særlig form for matematisk intuition, der lader os opfatte matematiske objekter direkte. (Denne opfattelse ligner mange ting, Husserl sagde om matematik og understøtter Kants idé om, at matematik er syntetisk a priori .) Davis og Hersh har i deres bog The Mathematical Experience fra 1999 foreslået, at de fleste matematikere opfører sig som om de er platonister, selv men hvis de presses til forsigtigt at forsvare positionen, kan de trække sig tilbage til formalisme . Matematikeren Alexander Grothendieck var også platonist.

Fuldblods platonisme er en moderne variation af platonisme, som er en reaktion på, at forskellige sæt matematiske enheder kan bevises at eksistere afhængigt af de anvendte aksiomer og slutningsregler (f.eks. Loven om den ekskluderede midte og valgfrit aksiom ). Det fastslår, at alle matematiske enheder eksisterer. De kan være beviselige, selvom de ikke alle kan udledes af et enkelt konsekvent sæt aksiomer.

Set-teoretisk realisme (også sæt-teoretisk platonisme ), en holdning forsvaret af Penelope Maddy , er den opfattelse, at sætteori handler om et enkelt univers af sæt. Denne position (som også er kendt som naturaliseret platonisme fordi det er en naturaliseret version af matematisk platonisme) er blevet kritiseret af Mark Balaguer på grundlag af Paul Benacerraf 's erkendelsesteoretiske problem . En lignende opfattelse, betegnet platoniseret naturalisme , blev senere forsvaret af Stanford - Edmonton School : ifølge denne opfattelse er en mere traditionel form for platonisme i overensstemmelse med naturalisme ; den mere traditionelle form for platonisme, de forsvarer, kendetegnes ved generelle principper, der hævder eksistensen af abstrakte objekter .

Matematik

Max Tegmark 's matematiske univers hypotese (eller mathematicism ) går videre end platonisme i at hævde, at det ikke kun eksisterer alle matematiske objekter, men intet andet gør. Tegmarks eneste postulat er: Alle strukturer, der eksisterer matematisk, eksisterer også fysisk . Det vil sige i den forstand, at "i de [verdener] komplekse nok til at indeholde selvbevidste understrukturer [vil] de subjektivt opfatte sig selv som eksisterende i en fysisk" rigtig "verden".

Logik

Logicisme er tesen om, at matematik kan reduceres til logik, og derfor intet andet end en del af logikken. Logikere mener, at matematik kan kendes på forhånd , men tyder på, at vores viden om matematik bare er en del af vores viden om logik generelt og derfor er analytisk og ikke kræver noget specielt fakultet for matematisk intuition. I denne opfattelse er logik det rigtige fundament for matematik, og alle matematiske udsagn er nødvendige logiske sandheder .

Rudolf Carnap (1931) præsenterer logikens tese i to dele:

De begreber i matematik kan udledes af logiske begreber gennem eksplicitte definitioner.
De teoremer for matematik kan udledes af logiske aksiomer gennem rent logisk deduktion.

Gottlob Frege var grundlæggeren af logismen. I sin seminal Die Grundgesetze der Arithmetik ( grundlovgivning i aritmetik ) opbyggede han aritmetik fra et logiksystem med et generelt forståelsesprincip, som han kaldte "Grundlov V" (for begreberne F og G er forlængelsen af F lig med forlængelse af G hvis og kun hvis for alle objekter a , Fa er lig med Ga ), et princip som han tog for at være acceptabelt som en del af logikken.

Bertrand Russell

Freges konstruktion var mangelfuld. Bertrand Russell opdagede, at grundlov V er inkonsekvent (dette er Russells paradoks ). Frege opgav sit logikprogram hurtigt efter dette, men det blev fortsat af Russell og Whitehead . De tilskrev paradokset til "ond cirkularitet" og opbyggede det, de kaldte forgrenet typeteori til at håndtere det. I dette system kunne de til sidst opbygge meget af moderne matematik, men i en ændret og overdrevent kompleks form (for eksempel var der forskellige naturlige tal i hver type, og der var uendeligt mange typer). De var også nødt til at indgå flere kompromiser for at udvikle så meget af matematik, såsom et " aksiom for reducerbarhed ". Selv sagde Russell, at dette aksiom ikke virkelig tilhørte logik.

Moderne logikere (som Bob Hale , Crispin Wright og måske andre) er vendt tilbage til et program tættere på Freges. De har opgivet grundlov V til fordel for abstraktionsprincipper som Humes princip (antallet af objekter, der falder ind under begrebet F, er lig med antallet af objekter, der falder ind under begrebet G, hvis og kun hvis udvidelsen af F og udvidelsen af G kan være indsættes i en-til-en-korrespondance ). Frege krævede grundlov V for at kunne give en eksplicit definition af tallene, men alle tales egenskaber kan udledes af Humes princip. Dette ville ikke have været nok for Frege, fordi (for at omskrive ham) det ikke udelukker muligheden for, at tallet 3 faktisk er Julius Cæsar. Desuden virker mange af de svækkede principper, som de har måttet vedtage for at erstatte grundlov V, ikke længere så åbenlyst analytiske og dermed rent logiske.

Formalisme

Formalisme mener, at matematiske udsagn kan betragtes som udsagn om konsekvenserne af visse strengmanipuleringsregler. For eksempel i "spillet" i den euklidiske geometri (som ses som bestående af nogle strenge kaldet "aksiomer" og nogle "inferensregler" for at generere nye strenge fra givne), kan man bevise, at Pythagoras sætning holder ( det vil sige, man kan generere den streng, der svarer til Pythagoras sætning). Ifølge formalisme handler matematiske sandheder ikke om tal og sæt og trekanter og lignende - faktisk handler de slet ikke om noget.

En anden version af formalisme er ofte kendt som deduktivisme . I deduktivisme er den pythagoranske sætning ikke en absolut sandhed, men en relativ: Hvis man tildeler strengene mening på en sådan måde, at spillereglerne bliver sande (dvs. sande udsagn tildeles aksiomerne og reglerne for slutning er sandhedsbevarende), så må man acceptere sætningen, eller rettere sagt den fortolkning, man har givet den, må være en sand erklæring. Det samme gælder for alle andre matematiske udsagn. Formalisme behøver således ikke betyde, at matematik ikke er andet end et meningsløst symbolsk spil. Man håber normalt, at der findes en eller anden fortolkning, hvor spillereglerne holder. (Sammenlign denne position med strukturalisme .) Men den tillader den arbejdende matematiker at fortsætte i sit arbejde og overlade sådanne problemer til filosofen eller videnskabsmanden. Mange formalister vil sige, at de aksiomsystemer, der skal studeres, i praksis vil blive foreslået af videnskabens krav eller andre områder af matematik.

David Hilbert

En stor tidlig fortaler for formalisme var David Hilbert , hvis program var beregnet til at være en komplet og konsekvent aksiomatisering af hele matematikken. Hilbert havde til formål at vise konsistensen af matematiske systemer ud fra den antagelse, at den "endelige aritmetik" (et undersystem af den sædvanlige aritmetik for de positive heltal , valgt til at være filosofisk ukontroversiel) var konsistent. Hilberts mål om at skabe et matematisk system, der er både fuldstændigt og konsistent, blev alvorligt undermineret af den anden af Gödels ufuldstændighedssætninger , der siger, at tilstrækkeligt udtryksfulde konsekvente aksiomsystemer aldrig kan bevise deres egen konsistens. Da ethvert sådant aksiomsystem ville indeholde den endelige aritmetik som et delsystem, indeholdt Godels sætning, at det ville være umuligt at bevise systemets konsistens i forhold til det (da det så ville bevise sin egen konsistens, som Gödel havde vist var umulig). For at vise, at ethvert aksiomatisk matematiksystem faktisk er konsistent, skal man først antage konsistensen af et matematiksystem, der på en måde er stærkere end systemet, der skal bevises konsekvent.

Hilbert var oprindeligt deduktivist, men som det kan være klart ovenfra, betragtede han visse metamatematiske metoder til at give iboende meningsfulde resultater og var realist med hensyn til den endelige regning. Senere var han af den opfattelse, at der overhovedet ikke var nogen anden meningsfuld matematik, uanset fortolkning.

Andre formalister, såsom Rudolf Carnap , Alfred Tarski og Haskell Curry , betragtede matematik som undersøgelse af formelle aksiomsystemer . Matematiske logikere studerer formelle systemer, men er lige så ofte realister som formalister.

Formalister er relativt tolerante og inviterer til nye tilgange til logik, ikke-standardiserede nummersystemer, nye sætteorier osv. Jo flere spil vi studerer, jo bedre. Men i alle tre af disse eksempler er motivation hentet fra eksisterende matematiske eller filosofiske bekymringer. "Spilene" er normalt ikke vilkårlige.

Den største kritik af formalisme er, at de faktiske matematiske ideer, der optager matematikere, er langt væk fra de strengmanipulationsspil, der er nævnt ovenfor. Formalismen er således tavs om spørgsmålet om, hvilke aksiomsystemer der bør undersøges, da ingen er mere meningsfulde end andre fra et formalistisk synspunkt.

For nylig har nogle formalistiske matematikere foreslået, at al vores formelle matematiske viden systematisk skal kodes i computerlæsbare formater for at lette automatiseret korrekturkontrol af matematiske beviser og brug af interaktiv sætning, der beviser i udviklingen af matematiske teorier og computersoftware . På grund af deres tætte forbindelse med datalogi , er denne idé også fortalet af matematiske intuitionister og konstruktivister i "beregningsbarhed" -traditionen - se QED -projekt for en generel oversigt.

Konventionalisme

Den franske matematiker Henri Poincaré var blandt de første til at formulere et konventionelt syn. Poincarés brug af ikke-euklidiske geometrier i sit arbejde med differentialligninger overbeviste ham om, at euklidisk geometri ikke skulle betragtes som en priori sandhed. Han mente, at aksiomer i geometri skulle vælges for de resultater, de producerer, ikke for deres tilsyneladende sammenhæng med menneskelige intuitioner om den fysiske verden.

Intuitionisme

I matematik er intuitionisme et program for metodisk reform, hvis motto er, at "der ikke er ikke-oplevede matematiske sandheder" ( LEJ Brouwer ). Fra dette springbræt søger intuitionister at rekonstruere, hvad de anser for at være den korrigerbare del af matematikken i overensstemmelse med kantianske begreber om væren, blive, intuition og viden. Brouwer, grundlæggeren af bevægelsen, mente, at matematiske objekter stammer fra de a priori former af de volitioner, der informerer opfattelsen af empiriske objekter.

En stor kraft bag intuitionismen var LEJ Brouwer , der afviste nytten af formaliseret logik af enhver art til matematik. Hans elev Arend Heyting postulerede en intuitionistisk logik , forskellig fra den klassiske aristoteliske logik ; denne logik indeholder ikke loven om den udelukkede midte og rynker derfor på modstridende beviser . Den udvalgsaksiomet er også afvist i de fleste Intuitionistic sæt teorier, men i nogle versioner det er accepteret.

I intuitionisme er udtrykket "eksplicit konstruktion" ikke klart defineret, og det har ført til kritik. Der er gjort forsøg på at bruge begreberne Turing -maskine eller beregningsfunktion til at udfylde dette hul, hvilket fører til påstanden om, at kun spørgsmål vedrørende opførsel af begrænsede algoritmer er meningsfulde og bør undersøges i matematik. Dette har ført til undersøgelsen af de beregningsbare tal , der først blev introduceret af Alan Turing . Ikke overraskende er denne tilgang til matematik derfor undertiden forbundet med teoretisk datalogi .

Konstruktivisme

Ligesom intuitionisme involverer konstruktivisme det regulerende princip om, at kun matematiske enheder, der eksplicit kan konstrueres i en vis forstand, bør optages i matematisk diskurs. I denne opfattelse er matematik en øvelse af den menneskelige intuition, ikke et spil, der spilles med meningsløse symboler. I stedet handler det om enheder, som vi kan skabe direkte gennem mental aktivitet. Desuden afviser nogle tilhængere af disse skoler ikke-konstruktive beviser, såsom et bevis ved modsigelse. Vigtigt arbejde blev udført af Errett Bishop , der formåede at bevise versioner af de vigtigste sætninger i reel analyse som konstruktiv analyse i sine 1967 Foundations of Constructive Analysis.

Finitisme

Leopold Kronecker

Finitisme er en ekstrem form for konstruktivisme , ifølge hvilken et matematisk objekt ikke eksisterer, medmindre det kan konstrueres ud fra naturlige tal i et begrænset antal trin. I sin bog Philosophy of Set Theory , Mary Fliser karakteriseret dem, der gør det muligt tælleligt uendelig genstande som klassiske finitists, og dem, der benægter endda tælleligt uendelige objekter som strenge finitists.

Den mest berømte fortaler for finitisme var Leopold Kronecker , der sagde:

Gud skabte de naturlige tal, alt andet er menneskets arbejde.

Ultrafinitisme er en endnu mere ekstrem version af finitisme, som ikke kun afviser uendeligheder, men endelige mængder, der ikke kan realiseres med tilgængelige ressourcer. En anden variant af finitisme er euklidisk regning, et system udviklet af John Penn Mayberry i sin bog The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets . Mayberrys system er generelt aristotelisk inspiration, og på trods af hans stærke afvisning af enhver rolle for operationalisme eller gennemførlighed i matematikens grundlag kommer der til nogenlunde lignende konklusioner, f.eks. At supereksponentiering ikke er en legitim endelig funktion.

Strukturisme

Strukturisme er en holdning, der fastslår, at matematiske teorier beskriver strukturer, og at matematiske objekter er udtømmende defineret af deres steder i sådanne strukturer og derfor ikke har nogen iboende egenskaber . For eksempel vil det fastholde, at alt hvad der skal vide om tallet 1 er, at det er det første hele tal efter 0. På samme måde er alle de andre hele tal defineret af deres steder i en struktur, tallinjen . Andre eksempler på matematiske objekter kan omfatte linjer og planer i geometri eller elementer og operationer i abstrakt algebra .

Strukturalisme er en epistemologisk realistisk opfattelse, idet den fastslår, at matematiske udsagn har en objektiv sandhedsværdi. Imidlertid vedrører dens centrale påstand kun, hvilken slags enhed et matematisk objekt er, ikke hvilken slags eksistens matematiske objekter eller strukturer har (ikke med andre ord til deres ontologi ). Den form for eksistens, matematiske objekter har, ville klart være afhængig af strukturen i de strukturer, de er indlejret i; forskellige sub-sorter af strukturalisme gør forskellige ontologiske påstande i denne henseende.

Det ante rem strukturalisme ( "før ting") har en lignende ontologi til platonisme . Strukturer anses for at have en reel, men abstrakt og immateriel eksistens. Som sådan står det over for det almindelige epistemologiske problem med at forklare interaktionen mellem sådanne abstrakte strukturer og kød-og-blod-matematikere (se Benacerrafs identifikationsproblem ).

Den i re strukturalisme ( "i ting") svarer til Aristoteles realisme . Strukturer holdes til at eksistere, for så vidt som et konkret system eksemplificerer dem. Dette medfører de sædvanlige spørgsmål om, at nogle helt legitime strukturer ved et uheld tilfældigvis ikke eksisterer, og at en endelig fysisk verden måske ikke er "stor" nok til at rumme nogle ellers legitime strukturer.

Det indlæg rem strukturalisme ( "efter ting") er anti-realist omkring strukturer på en måde, der paralleller nominalismen . Ligesom nominalisme benægter post rem -tilgangen eksistensen af abstrakte matematiske objekter med andre egenskaber end deres plads i en relationel struktur. Ifølge denne opfattelse eksisterer matematiske systemer og har strukturelle træk til fælles. Hvis noget er sandt for en struktur, vil det være sandt for alle systemer, der eksemplificerer strukturen. Det er imidlertid kun instrumentelt at tale om strukturer, der "holdes til fælles" mellem systemerne: de har faktisk ingen selvstændig eksistens.

Legemliggjort sindsteorier

Legemliggjorte sindsteorier mener, at matematisk tænkning er en naturlig udvækst af det menneskelige kognitive apparat, der befinder sig i vores fysiske univers. For eksempel er den abstrakte begreb nummer fjedre fra oplevelsen af at tælle diskrete objekter. Det fastslås, at matematik ikke er universel og ikke eksisterer i nogen egentlig betydning, bortset fra i menneskelige hjerner. Mennesker konstruerer, men opdager ikke matematik.

Med denne opfattelse kan det fysiske univers således ses som det ultimative grundlag for matematik: det styrede hjernens udvikling og bestemte senere, hvilke spørgsmål denne hjerne ville finde værd at undersøge. Det menneskelige sind har imidlertid ingen særlig påstand om virkeligheden eller tilgange til det, der er bygget ud af matematik. Hvis sådanne konstruktioner som Eulers identitet er sande, er de sande som et kort over det menneskelige sind og erkendelse .

Legemliggjorte sindsteoretikere forklarer således matematikkens effektivitet - matematik blev konstrueret af hjernen for at være effektiv i dette univers.

Den mest tilgængelige, berømte og berygtede behandling af dette perspektiv er Where Mathematics Comes From , af George Lakoff og Rafael E. Núñez . Derudover har matematiker Keith Devlin undersøgt lignende begreber med sin bog The Math Instinct , ligesom neuroscientist Stanislas Dehaene med sin bog The Number Sense . For mere om de filosofiske ideer, der inspirerede dette perspektiv, se kognitiv matematikvidenskab .

Aristotelisk realisme

Aristotelisk realisme fastslår, at matematik studerer egenskaber som symmetri, kontinuitet og orden, der bogstaveligt talt kan realiseres i den fysiske verden (eller i enhver anden verden, der kan være). Det står i kontrast til platonismen ved at fastslå, at matematikkens objekter, såsom tal, ikke eksisterer i en "abstrakt" verden, men kan realiseres fysisk. For eksempel realiseres tallet 4 i forholdet mellem en bunke papegøjer og det universelle "at være en papegøje", der deler bunken i så mange papegøjer. Aristotelisk realisme forsvares af James Franklin og Sydney School i matematikfilosofien og er tæt på Penelope Maddys opfattelse, at når en æggekarton åbnes, opfattes et sæt med tre æg (det vil sige en matematisk enhed realiseret i fysiske verden). Et problem for den aristoteliske realisme er, hvilken regnskab man skal give om højere uendeligheder, som måske ikke kan realiseres i den fysiske verden.

Den euklidiske regning udviklet af John Penn Mayberry i sin bog The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets falder også ind i den aristoteliske realistiske tradition. Mayberry, efter Euclid, betragter tal som simpelthen "bestemte mængder af enheder" realiseret i naturen - såsom "medlemmerne af London Symphony Orchestra" eller "træerne i Birnam wood". Hvorvidt der er deciderede mængder af enheder, for hvilke Euclids fælles opfattelse 5 (helheden er større end delen) fejler, og som følgelig ville blive regnet som uendelig, er for Mayberry i det væsentlige et spørgsmål om naturen og ikke indebærer nogen transcendentale antagelser.

Psykologi

Psykologi i matematikfilosofien er den position, matematiske begreber og/eller sandheder er funderet i, afledt af eller forklaret af psykologiske fakta (eller love).

John Stuart Mill synes at have været fortaler for en form for logisk psykologi, ligesom mange tyske logikere fra det 19. århundrede som Sigwart og Erdmann samt en række psykologer , tidligere og nutid: for eksempel Gustave Le Bon . Psykologisme blev berømt kritiseret af Frege i hans Foundations of Arithmetic , og mange af hans værker og essays, herunder sin anmeldelse af Husserls 's filosofi aritmetik . Edmund Husserl kritiserede psykologismen grundigt og forsøgte at tage afstand fra den i første bind af sine logiske undersøgelser , kaldet "The Prolegomena of Pure Logic". "Prolegomena" betragtes som en mere kortfattet, retfærdig og grundig tilbagevisning af psykologismen end Freges kritik, og den betragtes også i dag af mange som en mindeværdig tilbagevisning for dens afgørende slag mod psykologismen. Psykologi blev også kritiseret af Charles Sanders Peirce og Maurice Merleau-Ponty .

Empirisme

Matematisk empiri er en form for realisme, der benægter, at matematik overhovedet kan kendes a priori . Det siger, at vi opdager matematiske fakta ved empirisk forskning , ligesom fakta i enhver af de andre videnskaber. Det er ikke en af de klassiske tre holdninger, der blev anbefalet i begyndelsen af det 20. århundrede, men opstod primært i midten af århundredet. En vigtig tidlig fortaler for et synspunkt som dette var imidlertid John Stuart Mill . Mills syn blev bredt kritiseret, fordi det ifølge kritikere, såsom AJ Ayer, får udsagn som "2 + 2 = 4" til at fremstå som usikre, betingede sandheder, som vi kun kan lære ved at observere tilfælde af to par, der kommer sammen og danner en kvartet.

Moderne matematisk empiri, formuleret af WVO Quine og Hilary Putnam , understøttes primært af det uundværlige argument : matematik er uundværlig for alle empiriske videnskaber, og hvis vi vil tro på virkeligheden af de fænomener, der beskrives af videnskaberne, burde vi også tro på virkeligheden af de enheder, der kræves for denne beskrivelse. Det vil sige, da fysik skal tale om elektroner for at sige, hvorfor pærer opfører sig som de gør, så skal elektroner eksistere . Da fysik skal tale om tal for at tilbyde nogen af dens forklaringer, skal tal eksistere. I overensstemmelse med Quine og Putnams overordnede filosofier er dette et naturalistisk argument. Det argumenterer for eksistensen af matematiske enheder som den bedste forklaring på erfaring, og fjerner dermed matematik fra at være adskilt fra de andre videnskaber.

Putnam afviste stærkt udtrykket " platonist " som en antydning af en overspecifik ontologi, der ikke var nødvendig for matematisk praksis i egentlig forstand. Han gik ind for en form for "ren realisme", der afviste mystiske sandhedsopfattelser og accepterede meget kvasi-empirisme i matematik . Dette voksede fra den stadig mere populære påstand i slutningen af det 20. århundrede om, at der aldrig kunne bevises, at der var et fundament for matematik . Det kaldes også undertiden "postmodernisme i matematik", selvom dette udtryk betragtes som overbelastet af nogle og fornærmende af andre. Kvasi-empirisme hævder, at matematikere ved at lave deres undersøgelser tester hypoteser samt beviser sætninger. Et matematisk argument kan overføre falskhed fra konklusionen til præmisserne lige så godt som det kan overføre sandhed fra præmisserne til konklusionen. Putnam har argumenteret for, at enhver teori om matematisk realisme ville omfatte kvasi-empiriske metoder. Han foreslog, at en fremmed art, der laver matematik, først og fremmest kunne stole på kvasi-empiriske metoder, der ofte var villig til at opgive strenge og aksiomatiske beviser og stadig lave matematik-måske med en noget større risiko for fejl i deres beregninger. Han gav et detaljeret argument for dette i New Directions . Kvasi-empirisme blev også udviklet af Imre Lakatos .

Den vigtigste kritik af empiriske synspunkter på matematik er omtrent den samme som den, der blev rejst mod Mill. Hvis matematik er lige så empirisk som de andre videnskaber, tyder dette på, at dens resultater er lige så fejlbarlige som deres og lige så betingede. I Mills tilfælde kommer den empiriske begrundelse direkte, mens den i Quines tilfælde kommer indirekte gennem sammenhængen i vores videnskabelige teori som helhed, det vil sige konsiliens efter EO Wilson . Quine antyder, at matematik virker fuldstændig sikker, fordi den rolle, den spiller i vores trosnet, er overordentlig central, og at det ville være ekstremt svært for os at revidere den, men ikke umulig.

For en matematikkens filosofi, at forsøg på at overvinde nogle af manglerne ved Quine og Gödels tilgange ved at tage aspekter af hver se Penelope Maddy 's realisme i matematik . Et andet eksempel på en realistisk teori er den legemlige sindsteori .

For eksperimentelle beviser, der tyder på, at menneskelige spædbørn kan lave elementær regning, se Brian Butterworth .

Fiktionalisme

Matematisk fiktionalisme blev berømt i 1980, da Hartry Field udgav Science Without Numbers , hvilket afviste og faktisk vendte Quines uundværlige argument. Hvor Quine foreslog, at matematik var uundværlig for vores bedste videnskabelige teorier, og derfor skulle accepteres som et sandhedslegeme, der talte om uafhængigt eksisterende enheder, foreslog Field, at matematik var uundgåelig og derfor skulle betragtes som en gruppe af usandheder, der ikke talte om noget ægte. Han gjorde dette ved at give en komplet aksiomatisering af newtonsk mekanik uden henvisning til tal eller funktioner overhovedet. Han startede med "mellem" i Hilberts aksiomer for at karakterisere rummet uden at koordinere det, og tilføjede derefter ekstra relationer mellem punkter for at udføre det arbejde, der tidligere var udført af vektorfelter . Hilberts geometri er matematisk, fordi den taler om abstrakte punkter, men i Fields teori er disse punkter de fysiske rums konkrete punkter, så der er slet ikke brug for særlige matematiske objekter.

Efter at have vist, hvordan man laver videnskab uden at bruge tal, fortsatte Field med at rehabilitere matematik som en slags nyttig fiktion . Han viste, at matematisk fysik er en konservativ forlængelse af hans ikke-matematiske fysik (det vil sige, at alle fysiske fakta, der kan bevises i matematisk fysik, allerede kan bevises fra Fields system), så matematik er en pålidelig proces, hvis fysiske anvendelser alle er sande, selvom dens egne udsagn er falske. Når vi laver matematik, kan vi således se os selv som at fortælle en slags historie, der taler som om der eksisterede tal. For Field er en erklæring som "2 + 2 = 4" lige så fiktiv som " Sherlock Holmes boede på 221B Baker Street" - men begge er sande i henhold til de relevante fiktioner.

Af denne grund er der ingen metafysiske eller epistemologiske problemer specielle for matematik. De eneste bekymringer, der er tilbage, er de generelle bekymringer om ikke-matematisk fysik og om fiktion generelt. Fields tilgang har været meget indflydelsesrig, men afvises bredt. Dette er delvis på grund af kravet om stærke fragmenter af andenordens logik for at udføre hans reduktion, og fordi erklæringen om konservativitet synes at kræve kvantificering i forhold til abstrakte modeller eller fradrag.

Social konstruktivisme

Socialkonstruktivisme ser matematik primært som en social konstruktion , som et produkt af kultur, der er genstand for korrektion og forandring. Ligesom de andre videnskaber betragtes matematik som en empirisk indsats, hvis resultater konstant evalueres og kan kasseres. Mens evalueringen på et empiristisk synspunkt imidlertid er en slags sammenligning med "virkeligheden", understreger socialkonstruktivister, at retningen for matematisk forskning dikteres af mode i den sociale gruppe, der udfører den, eller af samfundets behov, der finansierer den. Selvom sådanne eksterne kræfter kan ændre retningen på nogle matematiske undersøgelser, er der imidlertid stærke interne begrænsninger-de matematiske traditioner, metoder, problemer, betydninger og værdier, som matematikere er inkultureret i-der arbejder på at bevare den historisk definerede disciplin.

Dette strider imod de traditionelle overbevisninger hos arbejdende matematikere, at matematik på en eller anden måde er ren eller objektiv. Men socialkonstruktivister hævder, at matematik i virkeligheden er baseret på meget usikkerhed: efterhånden som matematisk praksis udvikler sig, bliver tidligere matematiks status tvivlet og korrigeret i den grad, det kræves eller ønskes af det nuværende matematiske samfund. Dette kan ses i udviklingen af analyse fra genundersøgelse af beregningen af Leibniz og Newton. De argumenterer videre for, at færdig matematik ofte får for meget status, og folkematematik ikke nok på grund af en overbetoning af aksiomatisk bevis og peer review som praksis.

Matematikkens sociale karakter fremhæves i dens subkulturer . Store opdagelser kan gøres i en gren af matematik og være relevante for en anden, men alligevel forbliver forholdet uopdaget på grund af mangel på social kontakt mellem matematikere. Socialkonstruktivister argumenterer for, at hver specialitet danner sit eget epistemiske fællesskab og ofte har store vanskeligheder med at kommunikere eller motivere undersøgelsen af samlende formodninger, der kan knytte forskellige områder af matematik. Socialkonstruktivister ser processen med at "lave matematik" som faktisk at skabe meningen, mens sociale realister ser en mangel på enten menneskelig evne til at abstrahere eller menneskets kognitive bias eller matematikernes kollektive intelligens som forhindrer forståelsen af et reelt univers af matematiske objekter. Sociale konstruktivister afviser undertiden søgen efter matematikkens grundlag for at mislykkes, meningsløs eller endda meningsløs.

Bidrag til denne skole er blevet ydet af Imre Lakatos og Thomas Tymoczko , selv om det ikke er klart, at enten ville godkende titlen. For nylig har Paul Ernest eksplicit formuleret en socialkonstruktivistisk matematikfilosofi. Nogle anser Paul Erds arbejde som helhed for at have fremført denne opfattelse (selvom han personligt afviste det) på grund af hans unikt brede samarbejde, som fik andre til at se og studere "matematik som en social aktivitet", f.eks. Via Erds tal . Reuben Hersh har også fremmet det sociale syn på matematik og kaldt det en "humanistisk" tilgang, der ligner, men ikke helt den samme som den, der er forbundet med Alvin White; en af Hershs medforfattere, Philip J. Davis , har også udtrykt sympati for det sociale syn.

Ud over de traditionelle skoler

Urimelig effektivitet

I stedet for at fokusere på snævre debatter om den matematiske sandheds sande natur eller endda på metoder, der er unikke for matematikere som beviset, begyndte en voksende bevægelse fra 1960'erne til 1990'erne at sætte spørgsmålstegn ved ideen om at søge fundamenter eller finde et rigtigt svar på hvorfor matematik virker. Udgangspunktet for dette var Eugene Wigners berømte papir fra 1960 " Matematikkens urimelige effektivitet ", hvor han argumenterede for, at det lykkelige sammenfald af matematik og fysik, der passede så godt sammen, syntes at være urimeligt og svært at forklare.

Poppers to sanser af talangivelser

Realistiske og konstruktivistiske teorier betragtes normalt som modsætninger. Men Karl Popper hævdede, at en række udsagn som "2 æbler + 2 æbler = 4 æbler" kan tages i to sanser. På en måde er det uomtvisteligt og logisk sandt. I anden forstand er det faktuelt sandt og forfalskeligt. En anden måde at udtrykke dette på er at sige, at en enkelt talangivelse kan udtrykke to udsagn: den ene kan forklares på konstruktivistiske linjer; den anden på realistiske linjer.

Sprogfilosofi

Innovationer i sprogfilosofien i det 20. århundrede fornyede interessen for, om matematik, som det ofte siges, er videnskabens sprog . Selvom nogle matematikere og filosoffer ville acceptere udsagnet " matematik er et sprog ", mener lingvister, at konsekvenserne af en sådan erklæring skal overvejes. For eksempel anvendes lingvistikens værktøjer generelt ikke på matematikens symbolsystemer, det vil sige, at matematik studeres på en markant anderledes måde end andre sprog. Hvis matematik er et sprog, er det en anden type sprog end naturlige sprog . På grund af behovet for klarhed og specificitet er matematiksproget langt mere begrænset end naturlige sprog, der studeres af lingvister. Imidlertid er metoderne udviklet af Frege og Tarski til studiet af matematisk sprog blevet udvidet meget af Tarskis studerende Richard Montague og andre sprogforskere, der arbejder i formel semantik for at vise, at skelnen mellem matematisk sprog og naturligt sprog muligvis ikke er så stor, som det ser ud til .

Mohan Ganesalingam har analyseret matematisk sprog ved hjælp af værktøjer fra formel lingvistik. Ganesalingam bemærker, at nogle funktioner i naturligt sprog ikke er nødvendige ved analyse af matematisk sprog (f.eks. Spændt ), men mange af de samme analyseværktøjer kan bruges (f.eks. Kontekstfrie grammatikker ). En vigtig forskel er, at matematiske objekter har klart definerede typer , som eksplicit kan defineres i en tekst: "I virkeligheden får vi lov til at introducere et ord i en del af en sætning og deklarere dets del af talen i en anden; og denne operation har ingen analog i naturligt sprog. "

Argumenter

Uundværligt argument for realisme

Dette argument, der er forbundet med Willard Quine og Hilary Putnam , betragtes af Stephen Yablo som et af de mest udfordrende argumenter til fordel for accept af eksistensen af abstrakte matematiske enheder, såsom tal og sæt. Argumentets form er som følger.

Man skal have ontologiske forpligtelser over for alle enheder, der er uundværlige til de bedste videnskabelige teorier, og at disse enheder kun (almindeligvis omtalt som "alle og kun").
Matematiske enheder er uundværlige for de bedste videnskabelige teorier. Derfor,
Man skal have ontologiske forpligtelser over for matematiske enheder.

Begrundelsen for den første præmis er den mest kontroversielle. Både Putnam og Quine påberåber naturalisme for at retfærdiggøre udelukkelse af alle ikke-videnskabelige enheder og dermed at forsvare den "eneste" del af "alt og kun". Påstanden om, at "alle" enheder postuleret i videnskabelige teorier, herunder tal, bør accepteres som reelle, er begrundet i bekræftelsesholisme . Da teorier ikke er bekræftet stykkevis, men som helhed, er der ingen begrundelse for at udelukke nogen af de enheder, der omtales i velbekræftede teorier. Dette sætter nominalisten, der ønsker at udelukke eksistensen af sæt og ikke-euklidisk geometri , men at inkludere eksistensen af kvarker og andre uopdagelige fysiske enheder, for eksempel i en vanskelig position.

Epistemisk argument mod realisme

Det anti-realistiske " epistemiske argument" mod platonisme er blevet fremført af Paul Benacerraf og Hartry Field . Platonisme antyder, at matematiske objekter er abstrakte enheder. Efter generel aftale kan abstrakte enheder ikke interagere kausalt med konkrete, fysiske enheder ("sandhedsværdierne i vores matematiske påstande afhænger af fakta, der involverer platoniske enheder, der er bosat i et rige uden for rumtid"). Selvom vores viden om konkrete, fysiske objekter er baseret på vores evne til at opfatte dem og derfor kausalt interagere med dem, er der ingen parallel redegørelse for, hvordan matematikere får viden om abstrakte objekter. En anden måde at gøre pointeret på er, at hvis den platoniske verden skulle forsvinde, ville det ikke gøre nogen forskel for matematikernes evne til at generere beviser osv., Som allerede er fuldt ud ansvarlig for fysiske processer i deres hjerner.

Field udviklede sine synspunkter til fiktionalisme . Benacerraf udviklede også filosofien om matematisk strukturalisme , ifølge hvilken der ikke er matematiske objekter. Ikke desto mindre er nogle versioner af strukturalisme kompatible med nogle versioner af realisme.

Argumentet afhænger af tanken om, at en tilfredsstillende naturalistisk redegørelse for tankeprocesser med hensyn til hjerneprocesser kan gives til matematisk ræsonnement sammen med alt andet. En forsvarslinje er at fastholde, at dette er falsk, så matematisk ræsonnement bruger en særlig intuition, der involverer kontakt med det platoniske rige. En moderne form for dette argument er givet af Sir Roger Penrose .

En anden forsvarslinje er at fastholde, at abstrakte objekter er relevante for matematisk ræsonnement på en måde, der ikke er kausal og ikke er analog med opfattelse. Dette argument er udviklet af Jerrold Katz i sin bog 2000 Realistisk rationalisme .

Et mere radikalt forsvar er benægtelse af den fysiske virkelighed, det vil sige den matematiske univershypotese . I så fald er en matematikers viden om matematik et matematisk objekt, der får kontakt med et andet.

Æstetik

Mange praktiserende matematikere er blevet tiltrukket af deres emne på grund af en følelse af skønhed, de opfatter i det. Man hører undertiden den stemning, at matematikere gerne vil overlade filosofien til filosofferne og vende tilbage til matematik - hvor formodentlig skønheden ligger.

I sit arbejde med den guddommelige andel relaterer HE Huntley følelsen af at læse og forstå andres bevis for en matematiksteorem til betragteren af et mesterværk af kunst - læseren af et bevis har en lignende følelse af begejstring ved at forstå som bevisets oprindelige forfatter, meget som han hævder, at seeren på et mesterværk har en følelse af opstemthed, der ligner den originale maler eller billedhugger. Faktisk kan man studere matematiske og videnskabelige skrifter som litteratur .

Philip J. Davis og Reuben Hersh har kommenteret, at følelsen af matematisk skønhed er universel blandt praktiserende matematikere. For eksempel giver de to beviser på irrationeliteten af $\sqrt 2$ . Den første er det traditionelle bevis ved modsigelse , der tilskrives Euklid ; den anden er et mere direkte bevis, der involverer den grundlæggende teori om aritmetik , som de hævder, kommer til kernen i spørgsmålet. Davis og Hersh hævder, at matematikere finder det andet bevis mere æstetisk tiltalende, fordi det kommer tættere på problemets art.

Paul Erdős var kendt for sin forestilling om en hypotetisk "bog" indeholdende de mest elegante eller smukkeste matematiske beviser. Der er ikke enighed om, at et resultat har et "mest elegant" bevis; Gregory Chaitin har argumenteret imod denne idé.

Filosoffer har undertiden kritiseret matematikernes følelse af skønhed eller elegance som i bedste fald vagt udtalt. På samme måde har matematikfilosofer imidlertid forsøgt at karakterisere, hvad der gør et bevis mere ønskeligt end et andet, når begge er logisk forsvarlige.

Et andet aspekt af æstetik vedrørende matematik er matematikernes holdninger til den mulige anvendelse af matematik til formål, der anses for uetiske eller upassende. Den mest kendte redegørelse for denne opfattelse forekommer i GH Hardys bog A Mathematician's Apology , hvor Hardy hævder, at ren matematik i skønhed er bedre end anvendt matematik, netop fordi den ikke kan bruges til krig og lignende formål.

Tidsskrifter

Se også

Relaterede værker

Historiske emner

Noter

Yderligere læsning

Aristoteles , " Prior Analytics ", Hugh Tredennick (trans.), S. 181–531 i Aristoteles, bind 1 , Loeb Classical Library , William Heinemann, London, UK, 1938.
Benacerraf, Paul og Putnam, Hilary (red., 1983), Philosophy of Mathematics, Selected Readings , 1. udgave, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964. 2. udgave, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1983.
Berkeley, George (1734), Analytikeren ; eller en foredrag rettet til en vantro matematiker. Her undersøges det, om objektet, principperne og konklusionerne i den moderne analyse er mere tydeligt udtænkt eller mere tydeligt udledt end religiøse mysterier og trospunkter , London og Dublin. Online tekst, David R. Wilkins (red.), Eprint .
Bourbaki, N. (1994), Elements of the History of Mathematics , John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlin, Tyskland.
Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Sandhed og skønhed. Æstetik og motiver i videnskab , University of Chicago Press, Chicago, IL.
Colyvan, Mark (2004), "Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics", Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta (red.), Eprint .
Davis, Philip J. og Hersh, Reuben (1981), The Mathematical Experience , Mariner Books, New York, NY.
Devlin, Keith (2005), The Math Instinct: Why You're a Mathematical Genius (Together with Hummer, Birds, Cats and Dogs) , Thunder's Mouth Press, New York, NY.
Dummett, Michael (1991 a), Frege, Mathematics Philosophy , Harvard University Press, Cambridge, MA.
Dummett, Michael (1991 b), Frege og andre filosoffer , Oxford University Press, Oxford, Storbritannien.
Dummett, Michael (1993), Origins of Analytical Philosophy , Harvard University Press, Cambridge, MA.
Ernest, Paul (1998), Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics , State University of New York Press, Albany, NY.
George, Alexandre (red., 1994), Mathematics and Mind , Oxford University Press, Oxford, UK.
Hadamard, Jacques (1949), The Psychology of Invention in the Mathematical Field , 1. udgave, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2. udgave, 1949. Genoptrykt, Dover Publications, New York, NY, 1954.
Hardy, GH (1940), A Mathematician's Apology , 1. udgivet, 1940. Genoptrykt, CP Snow (forord), 1967. Genoptrykt, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1992.
Hart, WD (red., 1996), The Philosophy of Mathematics , Oxford University Press, Oxford, Storbritannien.
Hendricks, Vincent F. og Hannes Leitgeb (red.). Matematikfilosofi: 5 spørgsmål , New York: Automatic Press / VIP, 2006. [1]
Huntley, HE (1970), The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty , Dover Publications, New York, NY.
Irvine, A., red (2009), The Philosophy of Mathematics , i Handbook of the Philosophy of Science series, North-Holland Elsevier, Amsterdam.
Klein, Jacob (1968), Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra , Eva Brann (trans.), MIT Press, Cambridge, MA, 1968. Genoptrykt, Dover Publications, Mineola, NY, 1992.
Kline, Morris (1959), Mathematics and the Physical World , Thomas Y. Crowell Company, New York, NY, 1959. Genoptrykt, Dover Publications, Mineola, NY, 1981.
Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Oxford University Press, New York, NY.
König, Julius (Gyula) (1905), "Über die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem", Mathematische Annalen 61, 156-160. Genoptrykt, "On the Foundations of Set Theory and the Continuum Problem", Stefan Bauer-Mengelberg (trans.), S. 145–149 i Jean van Heijenoort (red., 1967).
Körner, Stephan , Matematikens filosofi, en introduktion . Harper Books, 1960.
Lakoff, George og Núñez, Rafael E. (2000), hvor matematik kommer fra : Hvordan det legemlige sind bringer matematik til at være , Basic Books, New York, NY.
Lakatos, Imre 1976 Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery (red.) J. Worrall & E. Zahar Cambridge University Press
Lakatos, Imre 1978 Mathematics, Science and Epistemology: Philosophical Papers Volume 2 (Eds) J.Worrall & G.Currie Cambridge University Press
Lakatos, Imre 1968 Problemer i matematikfilosofien Nordholland
Leibniz, GW , Logical Papers (1666–1690), GHR Parkinson (red., Trans.), Oxford University Press, London, UK, 1966.
Maddy, Penelope (1997), Naturalisme i matematik , Oxford University Press, Oxford, Storbritannien.
Maziarz, Edward A. og Greenwood, Thomas (1995), Greek Mathematical Philosophy , Barnes and Noble Books.
Mount, Matthew , Klassisk græsk Matematisk filosofi ,.
Parsons, Charles (2014). Matematikfilosofi i det tyvende århundrede: udvalgte essays . Cambridge, MA: Harvard University Press . ISBN 978-0-674-72806-6.
Peirce, Benjamin (1870), "Linear Associative Algebra", § 1. Se American Journal of Mathematics 4 (1881).
Peirce, CS , Collected Papers of Charles Sanders Peirce , bind. 1-6, Charles Hartshorne og Paul Weiss (red.), Bind. 7-8, Arthur W. Burks (red.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931-1935, 1958. Citeret som CP (bind). (Afsnit).
Peirce, CS, forskellige stykker om matematik og logik, mange læsbare online via links på Charles Sanders Peirce -bibliografien , især under Bøger forfattet eller redigeret af Peirce, udgivet i hans levetid og de to afsnit, der fulgte efter det.
Platon, "Republikken, bind 1", Paul Shorey (trans.), S. 1–535 i Platon, bind 5 , Loeb Classical Library, William Heinemann, London, Storbritannien, 1930.
Platon, "Republikken, bind 2", Paul Shorey (trans.), S. 1–521 i Platon, bind 6 , Loeb Classical Library, William Heinemann, London, Storbritannien, 1935.
Resnik, Michael D. Frege og matematikens filosofi , Cornell University, 1980.
Resnik, Michael (1997), Mathematics as a Science of Patterns , Clarendon Press, Oxford, UK, ISBN 978-0-19-825014-2
Robinson, Gilbert de B. (1959), The Foundations of Geometry , University of Toronto Press, Toronto, Canada, 1940, 1946, 1952, 4. udgave 1959.
Raymond, Eric S. (1993), "The Utility of Mathematics", Eprint .
Smullyan, Raymond M. (1993), Recursion Theory for Metamathematics , Oxford University Press, Oxford, UK.
Russell, Bertrand (1919), Introduction to Mathematical Philosophy , George Allen og Unwin, London, UK. Genoptrykt, John G. Slater (intro.), Routledge, London, UK, 1993.
Shapiro, Stewart (2000), Thinking About Mathematics: The Philosophy of Mathematics , Oxford University Press, Oxford, Storbritannien
Strohmeier, John og Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, Pythagoras 'liv og lære , Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
Styazhkin, NI (1969), History of Mathematical Logic fra Leibniz til Peano , MIT Press, Cambridge, MA.
Tait, William W. (1986), "Sandhed og bevis: Matematikens platonisme", Synthese 69 (1986), 341-370. Genoptrykt, s. 142–167 i WD Hart (red., 1996).
Tarski, A. (1983), Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938 , JH Woodger (trans.), Oxford University Press, Oxford, UK, 1956. 2. udgave, John Corcoran (red.), Hackett Publishing, Indianapolis, IN, 1983.
Ulam, SM (1990), Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of SM Ulam and His Los Alamos Collaborators , AR Bednarek og Françoise Ulam (red.), University of California Press, Berkeley, CA.
van Heijenoort, Jean (red. 1967), Fra Frege til Gödel: En kildebog i matematisk logik, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA.
Wigner, Eugene (1960), " Matematikkens urimelige effektivitet i naturvidenskaberne ", Kommunikation om ren og anvendt matematik 13 (1): 1-14. Eprint
Wilder, Raymond L. Matematik som et kultursystem , Pergamon, 1980.
Witzany, Guenther (2011), Kan matematik forklare udviklingen af menneskeligt sprog? , Kommunikativ og integrativ biologi, 4 (5): 516-520.

eksterne links

Matematikfilosofi på PhilPapers
Matematikfilosofi ved Indiana Philosophy Ontology Project
Horsten, Leon. "Matematikfilosofi" . I Zalta, Edward N. (red.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
"Matematikfilosofi" . Internet Encyclopedia of Philosophy .
Den London Filosofi Study Guide byder på mange forslag til, hvad de skal læse, afhængigt af den studerendes fortrolighed med emnet:
RB Jones 'filosofi om matematik
Matematikfilosofi på Curlie
The Philosophy of Real Mathematics - Blog af David Corfield
Kaina Stoicheia af CS Peirce

Languages

In other projects