Plateau's problem - Plateau's problem

En sæbeboble i form af en katenoid

I matematik er Plateau's problem at vise eksistensen af ​​en minimal overflade med en given grænse, et problem rejst af Joseph-Louis Lagrange i 1760. Det er dog opkaldt efter Joseph Plateau, der eksperimenterede med sæbefilm . Problemet betragtes som en del af variationen . Eksistens- og regelmæssighedsproblemer er en del af geometrisk målteori .

Historie

Forskellige specialiserede former for problemet blev løst, men det var først i 1930, at generelle løsninger blev fundet i sammenhæng med kortlægninger (nedsænkning) uafhængigt af Jesse Douglas og Tibor Radó . Deres metoder var helt forskellige; Radós arbejde byggede på det tidligere arbejde fra René Garnier og holdt kun for ensrettede enkle lukkede kurver, mens Douglas brugte helt nye ideer med sit resultat for en vilkårlig simpel lukket kurve. Begge var afhængige af opsætning af minimeringsproblemer; Douglas minimerede den nu navngivne Douglas-integral, mens Radó minimerede "energien". Douglas blev fortsat tildelt Fields Medal i 1936 for sin indsats.

I højere dimensioner

Udvidelsen af ​​problemet til højere dimensioner (dvs. for -dimensionelle overflader i -dimensionelt rum) viser sig at være meget sværere at studere. Desuden, mens løsningerne på det oprindelige problem altid er regelmæssige, viser det sig, at løsningerne på det udvidede problem kan have singulariteter, hvis . I tilfælde af hypersurface , hvor singulariteter kun forekommer for . Et eksempel på en sådan enestående løsning af Plateau problem er Simons kegle , en kegle forhold i det blev først beskrevet af Jim Simons og viste sig at være et område minimizer af Bombieri , De Giorgi og Giusti . For at løse det udvidede problem i visse specielle tilfælde er teorien om perimetre ( De Giorgi ) for codimension 1 og teorien om ensrettede strømme ( Federer og Fleming) for højere codimension blevet udviklet. Teorien garanterer eksistensen af ​​codimension 1-løsninger, der er glatte væk fra et lukket sæt Hausdorff-dimension . I tilfælde af højere kodimension viste Almgren eksistensen af ​​løsninger med enestående sæt dimension højst i sin regelmæssighedssætning . SX Chang, en studerende fra Almgren, byggede på Almgrens arbejde for at vise, at singulariteterne i det 2-dimensionelle område minimerer integrerede strømme (i vilkårlig codimension) danner et endeligt diskret sæt. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k \ leq n-2}$${\ displaystyle k = n-1}$${\ displaystyle n \ geq 8}$${\ displaystyle S ^ {3} \ times S ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}}$ ${\ displaystyle n-8}$${\ displaystyle k-2}$

Den aksiomatiske tilgang af Jenny Harrison og Harrison Pugh behandler en bred vifte af specielle tilfælde. Især løser de det anisotrope plateau-problem i vilkårlig dimension og codimension for enhver samling af ensrettede sæt, der tilfredsstiller en kombination af generelle homologiske, kohomologiske eller homotopiske spændingsbetingelser. Et andet bevis på Harrison-Pughs resultater blev opnået af Camillo De Lellis , Francesco Ghiraldin og Francesco Maggi .

Fysiske anvendelser

Fysiske sæbefilm modelleres mere nøjagtigt af Frederick Almgrens minimale sæt , men manglen på en kompakt sætning gør det vanskeligt at bevise eksistensen af ​​et arealminimeringsapparat. I denne sammenhæng har et vedvarende åbent spørgsmål været eksistensen af ​​en sæbefilm med mindst område. Ernst Robert Reifenberg løste et sådant "universelt plateau-problem" for grænser, der er homomorfe til enkeltindlejrede sfærer. ${\ displaystyle (M, 0, \ Delta)}$

Se også

• Dobbelt boble formodning
• Dirichlet-princip
• Plateau's love
• Strakt gittermetode
• Bernsteins problem

Referencer

• Douglas, Jesse (1931). "Løsning af problemet med Plateau" . Trans. Amer. Matematik. Soc . 33 (1): 263–321. doi : 10.2307 / 1989472 . JSTOR  1989472 .
• Reifenberg, Ernst Robert (1960). "Løsning af {Plateau} -problemet for m-dimensionelle overflader af varierende topologisk type" . Acta Mathematica . 104 (2): 1–92. doi : 10.1007 / bf02547186 .
• Fomenko, AT (1989). Plateau-problemet: Historisk undersøgelse . Williston, VT: Gordon & Breach. ISBN 978-2-88124-700-2.
• Morgan, Frank (2009). Geometrisk målingsteori: en begyndervejledning . Akademisk presse. ISBN 978-0-12-374444-9.
• O'Neil, TC (2001) [1994], "Geometric Measure Theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Radó, Tibor (1930). "På Plateau's problem". Ann. af matematik . 2. 31 (3): 457–469. doi : 10.2307 / 1968237 . JSTOR  1968237 .
• Struwe, Michael (1989). Plateau's problem og beregningen af ​​variationer . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08510-4.
• Almgren, Frederick (1966). Plateau problem, en invitation til varifold geometri . New York-Amsterdam: Benjamin. ISBN 978-0-821-82747-5.

• Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016). "Åbne problemer i matematik (Plateau's problem)". Springer. arXiv : 1506.05408 . doi : 10.1007 / 978-3-319-32162-2 . ISBN 978-3-319-32160-8. Citer journal kræver |journal=( hjælp )

Denne artikel inkorporerer materiale fra Plateau's Problem on PlanetMath , som er licenseret under Creative Commons Attribution / Share-Alike License .